ツィオルコフスキーの公式

ツィオルコフスキーの公式（-こうしき）は、1897年にコンスタンチン・E・ツィオルコフスキーによって示されたロケット推進に関する公式である。

ロケットの初期の質量をm₀、時間Tでの質量をm_Tと置くと、T秒後のロケットの速度増分ΔVは次の式で表される。

$\Delta V = I_{sp}\,g\,\ln\frac{m_0}{m_T}$

ただし、I_spはロケットの比推力、gは重力加速度である。

[編集] 導出

質量がm、推力がFであるロケットを考える。微少な時間Δtの間のロケットの質量変化、すなわち燃焼した燃料の質量をΔm(<0)、ロケットから噴射されるガスの噴射速度をv_gとすると、運動の第2法則より、これらの量について次式のような関係が成り立つ。

$F\Delta t = - \Delta m \cdot v_g$

ここで、重力加速度をgとし、次式で定義される量I_spを導入する。

$I_{sp} = - \frac{F}{\dot{m}g}$

このI_spは比推力という、時間の次元を持つ量である。比推力I_spはロケットの性能を表す重要な指標のひとつである。これを用いるとv_gは、

$v_g = - \frac{F\Delta t}{\Delta m} = - \frac{F}{\dot{m}} = I_{sp}\,g$

と表される。つまり比推力I_spは重力加速度gを乗じるとガスの噴射速度v_gになるような量であるといえる。

ロケットの初期の質量をm₀、T秒後の質量をm_Tと置くと、T秒後のロケットの速度増分ΔVは、

$\Delta V = \int_{0}^{T} \frac{F}{m}\,dt = - \int_{0}^{T} I_{sp}\,g \frac{\dot{m}}{m} \,dt = I_{sp}\,g\,\ln\frac{m_0}{m_T}$

となり、公式が導出できる。

上記式の m₀/m_T を質量比と呼ぶ。式から判るとおり、噴射速度と質量比が高いほど、最終的な到達速度も高くなる。それは逆に、到達速度を高くするには、比推力（噴射速度）か質量比を上げなければならないことを意味する。

[編集] 例1 単段式ロケット

LE-7Aエンジン（液体酸素・液体水素を推進剤とし、比推力440s）を使用した60tのSSTOを、衛星軌道に到達させるために第一宇宙速度7.9km/sまで加速したい場合、推進剤も含めた打ち上げ時の総質量は、

$m_0 = m_T \cdot \exp \left(\frac{\Delta V}{I_{sp}\,g}\right) = 60 \cdot \exp \left(\frac{7900}{440 \cdot 9.8}\right) = 374.8$

から375tとなり、自重を引くことで最低でも315tの推進剤が必要なことがわかる。この自重の中には、膨大な量の推進剤を入れておく燃料タンクやエンジン、軌道へ運ぶペイロードその他の構造物の質量が含まれる。

また、地球表面からロケットを打ち上げる場合には、実際には大気内でロケットエンジンを作動させることによる損失や、重力による損失など様々な要因による損失があり、それらを考慮する必要がある。

[編集] 例2 多段式ロケット

例1と同じく、LE-7Aエンジン（比推力440s）を用いたロケットを考える。打ち上げ時質量100t、ペイロード含む構造質量20t（質量比5）の1段式ロケットの速度増分は、

$\Delta V = I_{sp}\,g\,\ln\frac{m_0}{m_T} = 440 \cdot 9.8\,\ln\frac{100}{20} = 6940$

となり、約6.9km/sの速度を得る。

次に、第1段、第2段ともに打ち上げ時質量50t、ペイロード含む構造質量10t（各段の質量比5は上の1段式ロケットと変わらない）で、ロケット全体の打ち上げ時質量が100tである2段式ロケットを考える。ツィオルコフスキーの公式の導出と同じ考え方でこの2段式ロケットの速度増分を求めると、

$\Delta V = I_{sp1}\,g\,\ln\frac{m_{01}}{m_{T1}} + I_{sp2}\,g\,\ln\frac{m_{02}}{m_{T2}} = 440 \cdot 9.8\,\ln\frac{100}{60} + 440 \cdot 9.8\,\ln\frac{50}{10} = 9140$

となり、約9.1km/sという、1段式ロケットと同じ質量比のロケットでありながらも1段式ロケットよりもはるかに大きな速度を得る。この利点のため、現時点ですべての衛星打ち上げ機は多段式ロケットである。

[編集] 関連項目

ロケットエンジンの推進剤

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最終更新 2009年7月22日 (水) 04:07 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【ツィオルコフスキーの公式】変更履歴

ツィオルコフスキーの公式

目次

[編集] 導出

[編集] 例1 単段式ロケット

[編集] 例2 多段式ロケット

[編集] 関連項目

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