ねずみ算

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ねずみ算（ねずみざん）は和算の一つで、「ある期間に、ネズミがどれだけ増えるか」ということを計算する問題である。初出は吉田光由が著した『塵劫記』とされている。

結果が膨大な数となるため、急激に数が増えることを「ねずみ算式に増える」という事がある。なお、ネズミ講の語源はねずみ算からきている。

[編集] 塵劫記でのねずみ算

塵劫記では、ねずみ算は以下の様に記されている。

正月にねずみ、父母いでて、子を十二ひきうむ、親ともに十四ひきに成也。此ねずみ二月には子も又子を十二匹ずつうむゆえに、親ともに九十八ひきに成。かくのごとく、月に一度ずつ、親も子も、まごもひこも月々に十二ひきずつうむとき、十二月の間になにほどに成ぞといふときに、二百七十六億八千二百五十七万四千四百二ひき。

現代語訳

正月に、ネズミのつがいがあらわれ、子を12匹産む。そして親と合わせて14匹になる。このネズミは、二月に子ネズミがまた子を12匹ずつ産むため、親と合わせて98匹になる。この様に、月に一度ずつ、親も子も孫もひ孫も月々に12匹ずつ産む時、12ヶ月でどれくらいになるかというと、276億8257万4402匹となる。

もちろん、実際のネズミはネコなどの天敵に襲われたり、病気や飢えによって死んだりするため、これほど増えることはありえないが、ネズミの繁殖力の強さを表したものであろう。

[編集] 諸外国のねずみ算

諸外国にもねずみ算に似た話がある。

エジプトの『アーメス文書』には次の様な計算が載っている^[1]。

• 家 - 7
• ネコ - 49
• ネズミ - 343
• 小麦 - 2401
• マス - 16807

ある歴史家の解釈によると、「7つの家に7匹ずつのネコがいる。1匹のネコが7匹ずつのネズミをとる。1匹のネズミは7本の小麦をたべる。1本の小麦からはマス7杯分小麦がとれる。小麦はどれだけになるか」という意味とのことである^[1]。

[編集] 数式

数学的には、ねずみ算は等比数列となっており、上記の塵劫記の問題は、初項2、公比7の等比数列になる。12月のネズミの数はこの等比数列の第13項（初項は最初のつがいの2匹のみだから）を求めればよい。これを数式で表すと以下のようになる。

• 27,682,574,402 = 2×7^13-1

[編集] 脚注

1. ^ ^{い ろ} 遠山啓 『数学入門（下）』 岩波書店〈岩波新書〉（原著1960-10-20）、初版、p. 93。2009-03-05閲覧。

[編集] 関連項目

• ネズミ講
• 和算
• 数列
• フィボナッチ数
• バイバイン