アステロイド (曲線)

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アステロイド, a=1

アステロイド（astroid[1]）は直交座標の方程式 x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} によって表される曲線で、星に似たその形から、星芒形（せいぼうけい）、星形とも呼ばれる。内サイクロイドの一種と見なすことができる。

パラメータ表示では

x = a\cos^3 \theta,~ y = a\sin^3 \theta

となる。

x軸、y軸に対して線対称である。曲線で囲まれた面積は S=\frac{3}{8} \pi a^2、曲線の弧長は l = 6a である。

アステロイドの縮閉線はアステロイド（を2倍にして、45度回転させたもの）である。

また

\left(\frac{x}{a} \right)^{\frac{2}{3}} + \left(\frac{y}{b}\right)^{\frac{2}{3}} = 1

で表される曲線では、パラメータ表示は

x = a\cos^3 \theta,~ y = b\sin^3 \theta

で示され、曲線で囲まれた面積は

S=\frac{3}{8} \pi ab

であり、曲線の弧長は

l = \frac{4(a^2 + ab + b^2)}{a + b}

となる。

[編集] 脚注

  1. ^ 英語で asteroid と表記されることもあるが、これは小惑星の意味を持つため、区別のためには astroid（アストロイド）が望ましい。日本語表記ではアステロイドがよく用いられる。
"http://wkp.fresheye.com/wikipedia/%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%AD%E3%82%A4%E3%83%89_(%E6%9B%B2%E7%B7%9A)" より作成
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最終更新 2009年11月22日 (日) 06:20 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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