アーベル-ルフィニの定理
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アーベル-ルフィニの定理（アーベル-ルフィニのていり、Abel-Ruffini theorem）は、五次以上の一般の代数方程式を代数的に解くことは不可能である、という定理である。
[編集] 概要
方程式を代数的に解くというのは、与えられた方程式の係数に対して四則演算と開平を繰り返し、方程式の根を表示することをいう。このようにして得られる表示可能な数の全体は、係数体に適当な冪根を加えて拡大したものとなるが、もし方程式に解の公式が存在するなら、その根が拡大体のどこかに含まれているはずである。従って、代数方程式が代数的に解けること、すなわち「代数方程式の根が冪根による表示をもつ」とは、次のように定義される。
- 方程式の係数を含む体に適当な冪根を加えて体を拡大していき、その中に根を含むようにできる
アーベル-ルフィニの定理からは、五次以上の一般代数方程式ではこのような拡大が十分に行えないことが結論される。
代数学の基本定理が示す通り、n 次方程式は複素数の範囲で本質的に n 個の解を持つが、それを根号によって表示できるとは限らないことになる。代数的でない手法についてはこの定理は触れていない (例えば超越関数によって容易に表示できたとしても代数的に解けたとはいわない)。また五次以上でも特定の条件付き方程式ならば解く事ができ、このようなものはアーベル方程式と総称される。もっとも単純なアーベル方程式は1の冪根であり、これが可解であることはガウスにより証明された。
一時この定理は完全な形で提出したアーベルにその功績が帰されていたが、現在ではルフィニの貢献を入れてアーベル-ルフィニの定理とする表記が多い。これはアーベルの業績になる定理が多く、単に「アーベルの定理」というと区別しにくいという事情も関係している。
[編集] 歴史
- 1545年 ジェロラモ・カルダーノが『アルス・マグナ』を出版。三次、四次方程式の解法が公表される。
- 1770年 ラグランジュが代数方程式の解法と根の置換について考察し、代数方程式が解けるための条件を初めて見いだす。
- 1799年 ルフィニが最初の不可能性の論文を発表。同年ガウスが代数学の基本定理を証明した学位論文中で五次方程式の不可能性について予言。
- 1824年 アーベルによってルフィニの欠陥が解決される。定理の成立。
- 1829年 アーベル没。ガロアが代数方程式の可解性について最初の論文を書く。
- 1832年 ガロア没。
- 1846年 リウヴィルによりガロアの仕事が世に出る。
代数方程式の可解性について初めて考察を加えたのはラグランジュである。それ以前は三次、四次の解法について散発的な新証明が見つかるばかりで、五次以上の方程式については全く分かっていなかった。解があること自体は明らかなのだから、五次方程式は「解けるに違いないが非常に難しい問題」と捉えられていたわけである。
ラグランジュは高次方程式を直接解くのではなく、三次、四次方程式を考察することで、何故そのような解の公式が出現したのかを示した(詳しくはそれぞれの方程式の記事を参照)。方程式が代数的に解けるための条件を示したことになるが、それ以上には進まなかった。
五次方程式の解法の不可能性について、本質的な仕事はルフィニによるものと考えられている。しかしルフィニの証明は分かりづらい上に欠陥があったため、そのままで受け入れられることはなかった。発表が難しい時代とはいえ、アーベルが欠陥を修正するまでに結局25年も経っており、ルフィニの仕事の認知度が低かったことが伺い知れる。論文を査読したラグランジュも証明には懐疑的だったらしい。とはいえ、この頃から五次以上は不可能という可能性が考えられるようになった。
ラグランジュを学んだアーベルは、当初五次方程式の解法を発見しようとしていたが、そのうちに不可能かも知れないと考えるようになり、研究の方向を転換する。1823年の末に証明は完成し、翌年最初の論文が出版された。
一方ガロアはアーベルとは独立でほぼ同じ経路を辿っていた。アーベルの仕事については知らなかったが、後に恩師に薦められて存在を知る。コーシーが自分の時と同じく、アーベルの論文も紛失したことに憤慨する手紙が残されている。
どちらの証明も、本質的にはガロア群の構造に触れることで不可能性を証明しているが、アーベル、ルフィニらには「群」という意識がまだ存在しておらず、技巧的な証明に留まっていた。群の存在を明確に意識することで方程式の性質を明らかにしたのはガロアであり、現在アーベルらの証明は歴史的意義以外ではあまり意味を持たないものとなっている。
[編集] 参考資料
- 原田耕一郎 『群の発見』 岩波書店、2001年 ISBN 978-4000067911
- 高木貞治 『代数学講義』（改訂新版）共立出版、1965年、ISBN 978-4320010000
最終更新 2009年9月23日 (水) 12:51 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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