アーンショーの定理

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アーンショーの定理(Earnshaw's theorem)は、任意の電荷のない領域において静電場が存在するとき、その領域に荷電粒子をおいた場合、粒子は安定なつり合い状態を維持出来ないというものである。

これは電位φ（スカラー量）が、先の任意の領域で、

の条件（上式はラプラス方程式に相当）を満たす解である時、その領域内で電位φは極大、極小を持たないことによる（但し、領域の境界は除く。また鞍点の存在は可能）。

右辺が値を持つ場合はポアソン方程式と呼ばれ，この場合は領域内でφの極大値が許される。

この定理は、静電場だけでなく磁石と磁性体のみからなる静磁場でも成り立つ。すなわち、アンペールの法則では磁場の周回積分が積分路を貫く電流に等しくなるが、巨視的電流が存在しない系では磁場はスカラポテンシャルを持ち、ラプラス方程式を満足する。

アーンショーの定理を、静電場を使い直感的に証明すると以下の通り。

いま、スカラポテンシャル場φがあるとすると任意の点において電場は

と書ける。考えている領域内のある点でφの極大があったと仮定する。 その極大点を取り囲む小さな閉曲面を考える。すると、その閉曲面近くの電場ベクトル は必ず閉曲面を内から外へ貫く。なぜならgradφ(勾配)はφの極大点近傍では極大点に向かうため。 するとGaussの法則、より、 閉曲面でEを積分した値が正の値をとり、内部には電荷が存在することになり仮定と矛盾する。 （証明終）

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