エネルギー等配分の法則

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エネルギー等配分の法則（Law of equipartition of energy、エネルギー等配分則、エネルギー等分配則などとも言う）は、系の持つ自由度ごとに一定量のエネルギーが配分されるという統計力学の法則。

古典力学、古典統計が成り立つ理想的な系を考える。この系における、ある一つの自由度の持つエネルギーεが、

$\epsilon = \frac{1}{2} \alpha \xi^2$

と表現されるとする。αは適当な係数。ξは位置を表す座標、運動量を表す座標いずれでもよいとする。このエネルギーεの統計的平均をとると、

$\left\langle \frac{1}{2} \alpha \xi^2 \right\rangle = \frac{1}{2} k_B T$

となる。k_Bはボルツマン定数、Tは絶対温度である。これは、理想的な系では、系の持つ自由度毎の平均エネルギーに、k_BT/2が常に割り振られる（分配）されることを意味している。これをエネルギー等配分の法則と言う。

エネルギー等配分の法則は、エネルギーεが上の式で示されるように二次の形式で表現できる時に成り立つ（調和近似が成り立つ場合も含まれる）。系において、量子力学的な効果が顕著となる場合や、非調和項が無視できない場合は、この法則は成立しなくなる。

（例１：単原子分子理想気体）
単原子分子理想気体の個々の分子のエネルギーは、mを当該分子の質量として、

$\epsilon = \frac{1}{2m} (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)$

であり、これより、

$\langle \epsilon \rangle = \frac{3}{2} k_B T$

となる。x,y,z各座標（＝自由度）の運動量であるp_x、p_y、p_zに対応する自由度にエネルギーk_BT/2が配分されるため。

（例２：二原子分子理想気体）
この場合、二原子分子の持つエネルギーは、

$\epsilon = {1 \over {2m}} (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) + \frac{1}{2I} \left(p_{\theta}^2 + \frac{1}{\sin^2 \theta } p_{\phi}^2 \right)$

となる。上式の最初の括弧部分は、単原子分子の場合と同じ自由度によるエネルギーで、二番目の括弧が、二原子分子の回転に関しての自由度（θとφ二つ存在）からのエネルギーである。θとφは、二原子分子を一つの軸（剛体の棒）とみなした時の回転に関しての角度成分（自由度）である。mは二原子分子の質量、Iは二原子分子の重心を通り、二原子分子の軸に対して垂直な軸の周りの回転に関しての慣性モーメントである。

この場合、自由度は合計五つとなるので、

$\langle \epsilon \rangle = \frac{5}{2} k_B T$

となる。

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デュロン＝プティの法則

(これは本法則により説明できる)

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最終更新 2008年12月24日 (水) 19:53 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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エネルギー等配分の法則

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