エルミート多項式

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エルミート多項式（-たこうしき）とは、常微分方程式

$\left( \frac{d^2}{dx^2}-2x\frac{d}{dx}+2n\right) H_n(x)=0$

を満たす多項式 $H n (x)$ のことを言う。エルミート多項式は重み関数を $e^{-x^2}$ として、次の直交性を持つ。

$\int^\infty_{-\infty}H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=0$

ただし、 $n\ne m$ 。ロドリゲスの公式を用いれば、

$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

と表記できる。

$S(x,y)=e^{-y^2+2xy}=\sum^\infty_{n=0}H_n(x)\frac{y^n}{n!}$

である。

エルミート多項式は量子化された調和振動子の波動関数の一部としてその姿を現す。

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最終更新 2009年7月23日 (木) 01:11 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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