エーレンフェストの定理

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エーレンフェストの定理（エーレンフェストのていり）は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式（に大変よく似たもの）が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。

[編集] 定理の内容

[編集] 定理の主張

ポテンシャル $U$ の影響下にある質量 $m$ の粒子Aの状態が、波動関数 $\psi(\mathbf r)$ であらわされているものとする。この状態にある粒子A（およびそれと同じ状態にある複数の粒子）の位置 $\textbf{r}=(x,y,z)$ を測定した場合に得られる『観測値の期待値』をそれぞれ $< x > , < y > , < z >$ とする。このとき、

$m\frac{{d}^{2}}{d{t}^{2}}<x>=-<\frac{\partial U}{\partial x}>$

$m\frac{{d}^{2}}{d{t}^{2}}<y>=-<\frac{\partial U}{\partial y}>$

$m\frac{{d}^{2}}{d{t}^{2}}<z>=-<\frac{\partial U}{\partial z}>$

が成立する。なお、ここでは波動関数は規格化されているものとする。また、ここで、期待値を導き出す操作 $< >$ は、通常量子力学で行われている方法どおりで

$<x>=\int \psi^*(\mathbf r) x \psi(\mathbf r) d\mathbf r$

$<\frac{\partial U}{\partial x}>=\int \psi^*(\mathbf r) \frac{\partial U}{\partial x} \psi(\mathbf r) d\mathbf r$

他も同様である。

[編集] 定理の証明

まず、期待値の導出法にのっとり、

$\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle \mathbf r \rangle=\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\int \psi^*(\mathbf r,t) \mathbf r \psi(\mathbf r,t) \mathrm d \mathbf r$

と書ける。ここから式を変形して、次を得る。

$\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\int\psi^*(\mathbf r,t) \mathbf r \psi(\mathbf r,t)\mathrm d \mathbf r=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r$

ここでシュレーディンガー方程式より

$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{\partial \psi}{\partial t}\right]\mathrm d \mathbf r=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[-\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*)\mathbf r \psi+\psi^* \mathbf r \frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right]\mathrm d \mathbf r$

$=\frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\int\left[-\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^*\mathbf r \psi + \psi^* \mathbf r \left\{\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right]\mathrm d \mathbf r$

$=\frac{1}{i\hbar}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r=-\frac{i\hbar}{2m}\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \int\left[\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi - \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi\right]\mathrm d \mathbf r$

部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると

$\int\nabla^2 \psi^*\mathbf r \psi \mathrm d \mathbf r=[\nabla\psi^*\mathbf r \psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla\psi^* \nabla(\mathbf r \psi)\mathrm d \mathbf r=-[\psi^*\nabla(\mathbf r \psi)]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^*\nabla^2(\mathbf r \psi) \mathrm d \mathbf r$

$=\int \psi^*\nabla(\nabla \mathbf r \psi + \mathbf r \nabla \psi) \mathrm d \mathbf r=\int \left[ \psi^*\nabla \psi + \psi^* \nabla( \mathbf r \nabla \psi) \right] \mathrm d \mathbf r=\int \left[ 2\psi^*\nabla \psi + \psi^* \mathbf r \nabla^2 \psi) \right] \mathrm d \mathbf r$

これらを用いると

$m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d t^2}\langle\mathbf r \rangle=-i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int \psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r=-i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r$

再度シュレーディンガー方程式を用いて

$-i\hbar\int \left[ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{\partial \psi}{\partial t}\right] \mathrm d \mathbf r=-i\hbar\int \left[ -\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi^*) \nabla \psi + \psi^*\nabla\frac{1}{i\hbar}(\hat H \psi)\right] \mathrm d \mathbf r$

$=\int \left[ \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi^* \nabla \psi - \psi^*\nabla \left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf r)\right\} \psi\right] \mathrm d \mathbf r$

$=-\frac{\hbar^2}{2m}\int \left [ \nabla^2\psi^*\nabla\psi-\psi^*\nabla^3\psi \right ] \mathrm d \mathbf r + \int \left[ U(\mathbf r) \psi^* \nabla \psi - \psi^* \nabla(U(\mathbf r) \psi)\right]\mathrm d \mathbf r$

また部分積分を使うと、

$\int \nabla^2\psi^*\nabla\psi \mathrm d \mathbf r = [\nabla\psi^*\nabla\psi]^{+\infty}_{-\infty} - \int \nabla \psi^* \nabla^2 \psi \mathrm d \mathbf r= - [\psi^* \nabla^2 \psi]^{+\infty}_{-\infty} + \int \psi^* \nabla^3\psi \mathrm d \mathbf r$