カイ二乗分布

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カイ二乗分布（かいにじょうぶんぷ、カイじじょうぶんぷ）、または $χ 2$ 分布は確率分布の一種で、推計統計学で最も広く利用されるものである。

$X i$ を、平均 $μ i$ で分散 $\sigma_i^2$ の正規分布に従う、k 個の独立なランダム変数とすると、統計量

$Z = \sum_{i=1}^k \left(\frac{x_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2$

はカイ二乗分布に従う。普通はこれを

$Z\sim\chi^2_k$

と書く。カイ二乗分布は $k$ という1個の母数をもつ。これは $X i$ の自由度に等しい正の整数である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布はガンマ分布の特殊な場合に当たる。

カイ二乗分布はカイ二乗検定と総称される多くの検定法のほか、フリードマン検定などにも利用される。

[編集] 性質

カイ二乗分布の確率密度関数は

$x \ge 0$ に対し

$f(x;k)=\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}$ 、

また $x \le 0$ に対し $f k (x) = 0$ という形をとる。ここで $Γ$ はガンマ関数である。

累積分布関数は

$F(x;k)=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\$

（ただし $γ(k, z)$ は不完全ガンマ関数）である。

$Y = (X 1 / ν 1) / (X 2 / ν 2)$ （ただし $X_1 \sim \chi_{\nu_1}^2$ と $X_2 \sim \chi_{\nu_2}^2$ はカイ二乗分布に従う独立なランダム変数）とすると、 $Y ˜F(ν 1,ν 2)$ 、つまり自由度で割って比をとるとF分布に従う。