級数

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数学における級数（きゅうすう、英: series）とは、数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和のことである。「無限の項の総和」が何を表しているのかということは様々な場合に意味を与える（#級数の収束の節を参照）ことができるが、そのようなことができない「発散する級数」もあれば、級数自体を新たな形式的対象としてとらえることもある。小さくなっていく実数を項とする級数の収束性については様々な判定条件が与えられている。

級数を表す記法として、和記号 ∑ を用いた表現 ∑ a_n や三点リーダ ⋯ を用いた表現 a₀ + a₁ + ⋯ などがある。

有限個の項以外は 0 とすることで有限個の対象の和を表すこともでき、無限項の和であることを特に強調する場合には無限級数とも言う。無限の項の和の形に表された級数が何を表しているかということは一見必ずしも明らかではないため、何らかの意味付けを与えなければならない。もっともよく採用される理解の方法は、有限個の項の和が収束する先

$\frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n} \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1 \quad$

を無限級数の値とすることである。このほかに、解析接続などの手法により、みかけ上発散している級数に対して

$1 + 2 + 3 + \cdots = -\frac{1}{12}$ 　（1+2+3+4+…を参照のこと）

のような等式が意味付けされることもある。

[編集] 級数の収束

自然数によって項が添字づけられている場合には絶対収束と条件収束とのふたつの収束性の概念を定義することができる。各項が絶対値（ノルム）の定義された体系に属する級数 ∑ a_n は、有限個の項の絶対値を足して得られる正数列が有界である場合、

$\sum_{i=1}^n |a_i| < {}^\exist M \quad ({}^\forall n)$

その級数は絶対収束していると言われる。最初の有限個の項の絶対値をそれぞれ足して得られる数の列がコーシー列になっているようなとき、およびそのときに限り絶対収束が成り立っている。

最初の有限個の項を足して得られる部分和の列が収束しているような級数 ∑ a_n は条件収束していると言われる。

$s_n = \sum_{i=1}^n a_i \rightarrow {}^\exists s \quad (n \rightarrow \infty)$

絶対収束している級数条件収束している。

整数の集合など、整列加算集合ではない添字集合 I によって項が数え上げられた級数 ∑_{i ∈ I} a_i に関しても以下のように収束性の概念を定めることができる。添字集合の有限部分集合のなす直系について、対応する項の和が収束しているとき

$\sum_{F \subset I: |F| < \infty; i \in F} a_i \rightarrow {}^\exist s$

級数 ∑_{i ∈ I} a_i は条件収束しているといい、各項の絶対値を考えられて

$\sum_{F \subset I: |F| < \infty; i \in F} |a_i| < \infty$

となっているとき ∑_{i ∈ I} a_i 絶対収束していると言われる。

[編集] 数列級数の収束判定法

ガウスの判定法

すべての項が正の数である級数（正項級数） $\sum a_n$ が、ある正の数αに対して、

$\frac{a_n}{a_{n+1}}= 1 + \frac{\alpha}{n} + O( \frac{1}{n\log n} )$

と書けるならば、 $\sum a_n$ は α > 1 のとき収束し、α ≤ 1 のとき発散する。

コーシーの収束判定法: 実数を各項にもつ級数 $\sum a_n$ は、 $\limsup \sqrt[n]{|a_n|} < 1$ ならば絶対収束し、逆にこの量が1より大きければ発散する。

ダランベールの収束判定法: 連続する項の比の絶対値が1より小さな極限を持つ級数は絶対収束し、ぎゃくに1より大きな極限を持つ級数は発散する。

|a_n|<b_n(n=1,2,…)が成り立つとき、 $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ を優級数、 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ を劣級数という。優級数が収束するならば劣級数は絶対収束する。（対偶により）劣級数が発散すれば優級数も発散する。

[編集] 級数の例

以下に重要な級数の例を挙げる。

等比級数（幾何級数）は収束する級数の典型的な例である。
冪級数は各項を単項式とする級数である。

アーベルの定理は、数列級数の収束と、その母関数である正則関数の値の収束値との間の関係を与えている。

ローラン級数は単項式の次数として負の自然数を許した二方向への無限和であり、自然数と異なる添字集合によって項が与えられる例になっている。
テイラー級数は滑らかな関数の、冪級数としての表現を与えている。
フーリエ級数は各項を三角関数とする級数による関数の表示を与えている。
調和級数はよく知られた収束しない級数の例である。調和級数が発散する現象はオイラーによる素数の無限性の証明にも利用されている。
ディリクレ級数は調和級数型の級数を特殊値とするような、各項が特定の指数関数からなる級数である。

[編集] 歴史

古代ギリシャでは、幾何級数にもとづく取り尽くし法によって四角錐の体積（エウドクサス）、放物線と直線で囲まれた部分の面積（アルキメデス）などを求める方法が開発された。^[1]

関数を級数によって表す方法論は、14世紀インドのマドハヴァによる逆正接関数のテイラー級数の研究が知られているうちで最古のものである。マドハヴァは同時にこの級数の収束する条件についても述べているが、これは収束性の議論という意味でも初めての研究になっている。^[2]

条件収束の概念は1823年のポアソンの研究に初めて現れる。テイラー級数の一般論はブルック・テイラーによって1715年に発表された。フーリエ級数は1822年のフーリエの研究に、ディリクレ級数は1839年のディリクレの研究ではじめて定義された。^[2]

[編集] 歴史的な記法

無限の項を表すための記法として知られるもっとも古いものは17世紀ヨーロッパの数学界で用いられた &c （x+y+z,&cが現在の記法で書くところの x+y+z+...を表した）である。このほか用いられた記法に x+y+z+&c, x+y+z+etc, x + y + z + . . . . ∼ などがあった。級数を表す記号として大文字のシグマを初めて使ったのはオイラー (1775) だったが、この記号はすぐには広まらなかった。^[3]

[編集] 引用文献

^ ニコラ・ブルバキ村田全、杉浦光夫他訳. ブルバキ数学史.
^ ^い ^ろヴィクター・J・カッツ『数学の歴史』共立出版、2005年。ISBN 978-4320017658。
^ Cajori, Florian. A history of mathematical notations.

[編集] 参考文献

『岩波数学事典』日本数学会、岩波書店。
高木貞治『解析概論』岩波書店。

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最終更新 2009年11月13日 (金) 23:12 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【級数】変更履歴

[0] ニコラ・ブルバキ村田全、杉浦光夫他訳. ブルバキ数学史.

[katz-1] い ^ろヴィクター・J・カッツ『数学の歴史』共立出版、2005年。ISBN 978-4320017658。

[2] Cajori, Florian. A history of mathematical notations.

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