クライン-ゴルドン方程式

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クライン-ゴルドン方程式 （Klein-Gordon equation）は、スピン0の相対論的な自由粒子を表す場（クライン-ゴルドン場）が満たす方程式である。スウェーデン人物理学者オスカル・クラインとドイツ人物理学者ヴァルター・ゴルドンにちなんで名づけられた。

質量mの粒子を表すクライン-ゴルドン場を $\phi(\mathbf{x},t)$ とすると、クライン-ゴルドン方程式は

$(\square^2+\mu^2)\phi(\mathbf{x},t) = 0$

と表される。ここで、

$\square^2 \equiv \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - abla^2$

$\mu \equiv \frac{mc}{\hbar}$

である。

[編集] 導出

相対論的な粒子のエネルギーを $ε$ 、運動量をpとすると、

$\epsilon^2 =\, m^2 c^4 + c^2 p^2$

が成り立つ。ただし、mは粒子の静止質量、cは光速度である。ここで、非相対論的量子力学とのアナロジーによって、 $p = -i \hbar abla$ 及び $\epsilon = i \hbar {\partial \over {\partial t} }$ という置き換えをすると、

$\left(i \hbar {\partial \over {\partial t} } \right)^2 = m^2 c^4 + c^2 (-i \hbar abla)^2$

となる。この式を、クライン-ゴルドン場 $\phi(\mathbf{x},t)$ に作用する演算子に対する等式とみなすと、

$- \hbar^2 {\partial^2 \over {\partial t^2} } \phi(\mathbf{x},t) = - \hbar^2 c^2 abla^2 \phi(\mathbf{x},t) + m^2 c^4 \phi(\mathbf{x},t)$

を得る。上式の両辺を $\hbar^2 c^2$ で割り、整理すると、クライン-ゴルドン方程式が得られる。

最終更新 2008年7月15日 (火) 11:03 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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