クロス積

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ベクトル解析において、クロス積（クロスせき、cross product）、ベクトル積（ベクトルせき、vector product）とは、2 つの3次元ベクトル a と b に対して定義される演算 a × b である。

これは、外積の3次元での特殊ケースである。

[編集] 定義

三次元ベクトル a, b の外積は次の定義による大きさと向きを持つ三次元ベクトルである。 a, b のなす角を θ とするとき、外積の大きさ $|\mathbf a\times\mathbf b|$ は、

$|\mathbf a\times\mathbf b| = |\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta$

で与えられる。これからわかるように、外積の大きさは、二つのベクトルが作る平行四辺形の面積である。また、その向きは、右手系の場合、a, b を含む平面で a をその始点の周りに (θ だけ) 回転させて b に重ねるとき、右ねじの進む向きである。すなわち，右手の親指をa、人差し指をbとしたときに中指が外積の向きを表す。なお、左手系の場合、b をその始点の周りに (θ だけ) 回転させて a に重ねるとき、右ねじの進む向きである。すなわち、左手の親指をa、人差し指をbとしたときに中指が外積の向きを表す。

成分で書くと、 $\mathbf a = (a_x, a_y, a_z)$ , $\mathbf b = (b_x, b_y, b_z)$ のとき、

$\mathbf a\times\mathbf b = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)$

エディントンのイプシロン $ε i j k$ を用いると、

$(\mathbf a\times\mathbf b)_i=\epsilon_{ijk} a_j b_k$

行列式を使うと次のようにも書ける。

$\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z\\ \mathbf e_x & \mathbf e_y & \mathbf e_z \end{vmatrix} = \left( \begin{vmatrix}a_y & a_z \\ b_y & b_z\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_z & a_x \\ b_z & b_x\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a_x & a_y \\ b_x & b_y\end{vmatrix} \right)$

ここで、e_x, e_y, e_z はそれぞれ x 軸, y 軸, z 軸の正の向きの単位ベクトル、e_x = (1, 0, 0), e_y = (0, 1, 0), e_z = (0, 0, 1) である。

[編集] 外積の性質

任意のベクトル a, b, c ∈ R³、任意のスカラー k ∈ R について、

$\mathbf a\times\mathbf a = \mathbf 0$
$\mathbf b\times\mathbf a = -\mathbf a\times\mathbf b$
$(\mathbf a + \mathbf b)\times\mathbf c = \mathbf a\times\mathbf c + \mathbf b\times\mathbf c$
$\mathbf a\times(\mathbf b + \mathbf c) = \mathbf a\times\mathbf b + \mathbf a\times\mathbf c$
$(k\mathbf a)\times\mathbf b = \mathbf a\times(k\mathbf b) = k(\mathbf a\times\mathbf b)$
$\mathbf a\times\mathbf 0 = \mathbf 0\times\mathbf a = \mathbf 0$
$\mathbf a\times(\mathbf b\times \mathbf c) + \mathbf b\times(\mathbf c\times \mathbf a) + \mathbf c\times(\mathbf a\times \mathbf b) = \mathbf 0$
（ベクトル三重積） $\mathbf a \times ( \mathbf b \times \mathbf c) = (\mathbf a \cdot \mathbf c)\mathbf b - (\mathbf a \cdot \mathbf b)\mathbf c$

が成立する。ドット積とは性質 1. $\mathbf a\cdot\mathbf a = |\mathbf a|^2$ , 2. $\mathbf a\cdot\mathbf b = \mathbf b\cdot\mathbf a$ が異なることに注意が必要。 7式は、いわゆる Jacobi Identity である。

[編集] ベクトル三重積性質の証明

ベクトル三重積： $\mathbf a \times ( \mathbf b \times \mathbf c)$

ベクトル $\mathbf a$ とベクトル $(\mathbf b \times \mathbf c)$ の外積であるから、これはベクトルである。その成分は

$\{a \times (b \times c) \}_x$

$= a_y (b \times c)_z - a_z (b \times c)_y$

= a y (b x c y - b y c x) - a z (b z c x - b x c z)

= a y b x c y - a y b y c x - a z b z c x + a z b x c z

= (a y c y + a z c z) b x - (a y b y + a z b z) c x

= (a y c y + a z c z) b x + a x b x c x - (a y b y + a z b z) c x - a x b x c x

= (a x c x + a y c y + a z c z) b x - (a x b x + a y b y + a z b z) c x

$=(a \cdot c) b_x - (a \cdot b) c_x$

同様にして、y成分、z成分は、

$=(a \cdot c) b_y - (a \cdot b) c_y$

$=(a \cdot c) b_z - (a \cdot b) c_z$

ゆえに、

$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$

[編集] 他次元への拡張

[編集] 行列式を使った拡張

行列式による定義

$\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix} \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \mathbf e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \mathbf e_3 \end{vmatrix} = \left( \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \right)$

を拡張して、n 次元ベクトルの n - 1 項演算としてのクロス積

$\times(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \cdots, \mathbf a_{n-1}) = \mathbf a_1 \times \mathbf a_2 \times \cdots \times \mathbf a_{n-1} = (\pm)^{n+1} \begin{vmatrix} \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \cdots & \mathbf e_n \\ a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n} \end{vmatrix}$

を定義できる。なお、2項演算以外では中置記法 $a \times b$ は不便なため、 $\times(\cdots)$ の関数表現を使った。

$(\pm)^{n+1}$ は、奇数次元では1だが偶数次元では複合 $\pm$ となることを意味する。これは、上の式では基底を1行目においたが、最後の行に置いた場合、偶数次元では上の行列式の-1倍になることに起因する。

たとえば、1、2、4次元ではそれぞれ定数、単項演算、三項演算

$\times() = \det(\mathbf e_1) = (1)$

$\times(\mathbf a) = \pm \begin{vmatrix} \mathbf e_1 & \mathbf e_2 \\ a_1 & a_2 \end{vmatrix} = (\pm a_2, \mp a_1)$

$\times(\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c) = \mathbf a \times \mathbf b \times \mathbf c = \pm \begin{vmatrix} \mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \mathbf e_3 & \mathbf e_4 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \end{vmatrix} = \left( \pm \begin{vmatrix} a_2 & a_3 & a_4 \\ b_2 & b_3 & b_4 \\ c_2 & c_3 & c_4 \end{vmatrix}, \mp \begin{vmatrix} a_3 & a_4 & a_1 \\ b_3 & b_4 & b_1 \\ c_3 & c_4 & c_1 \end{vmatrix}, \pm \begin{vmatrix} a_4 & a_1 & a_2 \\ b_4 & b_1 & b_2 \\ c_4 & c_1 & c_2 \end{vmatrix}, \mp \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \right)$

となる。（複合は同順）

[編集] 多元数を使った拡張

3次元のクロス積

$(a_1, a_2, a_3) \times (b_1, b_2, b_3) = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$

は、4元数（ $a + b i + c j + d k$ ）のベクトル成分（ $b i + c j + d k$ の部分）の乗算

$(a_1 i + a_2 j + a_3 k) (b_1 i + b_2 j + b_3 k) = (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) + (a_2 b_3 - a_3 b_2) i + (a_3 b_1 - a_1 b_3) j + (a_1 b_2 - a_2 b_1) k \,$

のベクトル成分で定義できる。ちなみに、スカラー成分 $a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3$ は内積になっている。

これを多元数に拡張すると、n + 1 元数の乗算から n 次元でのクロス積を定義できる。つまり、実数（1元数）、複素数（2元数）、4元数、8元数の乗算から、0次元、1次元、3次元、7次元でのクロス積が定義できる（要素数が多くなるため縦ベクトルで表す）。

$() \times () = ()$

$(a_1) \times (b_1) = (0)$

$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6 \\ a_7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\ b_5 \\ b_6 \\ b_7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 - a_4 b_5 + a_5 b_4 - a_6 b_7 + a_7 b_6 \\ -a_1 b_3 + a_3 b_1 - a_4 b_6 + a_5 b_7 + a_6 b_4 - a_7 b_5 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 - a_4 b_7 - a_5 b_6 + a_6 b_5 + a_7 b_4 \\ a_1 b_5 + a_2 b_6 + a_3 b_7 - a_5 b_1 - a_6 b_2 - a_7 b_3 \\ -a_1 b_4 - a_2 b_7 + a_3 b_6 + a_4 b_1 - a_6 b_3 + a_7 b_2 \\ a_1 b_7 - a_2 b_4 - a_3 b_5 + a_4 b_2 + a_5 b_3 - a_7 b_1 \\ -a_1 b_6 + a_2 b_5 - a_3 b_4 + a_4 b_3 - a_5 b_2 + a_6 b_1 \end{pmatrix}$

これら以外の次元では、必要な対称性を持つ乗算が定義できないため、クロス積は定義できない。また、0次元では自明なことを確認できるにすぎず、1次元のクロス積は常に零ベクトルである。

[編集] 直積を使った拡張（外積）

クロス積は、直積

$\mathbf a \circ \mathbf b = \mathbf a \mathbf b^\operatorname{T} = (a_i b_j)$

を使って

$\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf a \circ \mathbf b - \mathbf b \circ \mathbf a$ (*)

と定義できる。ただしここで、反対称テンソルと擬ベクトルを等価

$(x, y, z) = \begin{pmatrix} 0 & z & -y \\ -z & 0 & x \\ y & -x & 0 \end{pmatrix}$

としたが、これをホッジ作用素で写像として明示すると

$\mathbf a \times \mathbf b = * ( \mathbf a \circ \mathbf b - \mathbf b \circ \mathbf a)$

と書ける。

(*)式はそのまま、一般次元での定義に使える。ただし、これで定義できる積は、クロス積ではなく外積と呼び、

$\mathbf a \wedge \mathbf b = \mathbf a \circ \mathbf b - \mathbf b \circ \mathbf a$

で表す。外積は3次元ではクロス積に一致するが、同義語ではないので注意が必要である。

外積は2階の反対称テンソルであり、これはホッジ作用素により、n 次元では n - 2 階の擬テンソルに写像できる。つまり、2次元では擬スカラー（0階の擬テンソル）、3次元では擬ベクトル（1階の擬テンソル）に写像できるが、4次元以上ではテンソルとして扱うしかない。

最終更新 2009年7月27日 (月) 03:24 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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