グリーン関数

グリーン関数の最新ニュースをまとめて検索！

グリーン関数（グリーンかんすう）は

ジョージ・グリーン (George Green) により導入された関数。微分方程式の解法を与える。本項で詳述。
J.A.Green により導入された組合せ論的関数。グリーン多項式とも。有限シュバレー群（オリジナルは有限体上の一般線型群）の既約表現を記述する数学的対象である。

グリーン関数 (Green's function) とは、微分方程式や偏微分方程式の解法の一つであるグリーン関数法に現れる関数である。グリーン関数法は、英国の数学者 G.Green によって考案された。

下の偏微分方程式の(初期値)境界地問題を例に考える。

$\text{L}y(\boldsymbol{x})=-f(\boldsymbol{x})\qquad \boldsymbol{x} \in \Omega$
$y(\boldsymbol{x})=\bar{y_1}\qquad \boldsymbol{x} \in \Gamma_1$
$\frac{\partial y}{\partial n}(\boldsymbol{x})=\bar{y_2}\qquad \boldsymbol{x} \in \Gamma_2$

ここで、 $L$ は微分作用素、 $Ω$ は領域であり、領域の境界 $Γ$ は、 $\bar{y_1}$ が規定されている境界 $Γ 1$ と、 $\partial y/\partial n$ が規定されている境界 $Γ 2$ からなり、 $\Gamma_1\cup \Gamma_2=\Gamma$ 、 $\Gamma_1\cap \Gamma_2=\emptyset$ であるものとする。また、 $n$ は境界での外向き法線方向を示す。

上記の問題に対するグリーン関数 $G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}')$ とは次の条件を満たす関数のことである。

$\text{L}G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}')=-\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}')\qquad \boldsymbol{x} \in \Omega$
$G(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}')=0\qquad \boldsymbol{x} \in \Gamma_1$
$\frac{\partial G}{\partial n}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}')=0\qquad \boldsymbol{x} \in \Gamma_2$