シグモイド関数

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標準シグモイド関数
シグモイド関数（ゲイン5）

シグモイド関数（シグモイドかんすう、sigmoid function）は、

\varsigma_a (x) = \frac{1}{1+e^{- a x}}

で表される実関数である。なお、a をゲイン (gain) と呼ぶ。

狭義には、ゲインが1の標準シグモイド関数 (standard sigmoid function)

\varsigma_1 (x) = \frac{1}{1+e^{-x}}

をさす。

以下は広義のシグモイド関数について述べる。標準シグモイド関数については、a = 1 を代入すればよい。

シグモイド (sigmoid) とは、シグモイド曲線 (sigmoid curve) ともいい、ギリシャ文字のシグマ（語中では σ だがここでは語末形の ς のこと）に似た形と言う意味である。ただし、単にシグモイドまたはシグモイド曲線と言った場合は、シグモイド関数と似た性質を持つς型の関数（累積正規分布関数、ゴンペルツ関数など）を総称するのが普通である。

[編集] 性質

(-\infty, \infty) \rightarrow (0,1) の単調増加連続関数で、1つの変曲点を持つ。

y = 0 と y = 1 を漸近線に持ち、

\lim_{x \rightarrow \infty} \varsigma _a (x) = 1
\lim_{x \rightarrow -\infty} \varsigma _a (x) = 0
\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \dot \varsigma _a (x) = 0

である。

x = 0 では

\varsigma _a (0) = 1 / 2
\dot \varsigma _a (0) = a / 4
\ddot \varsigma _a (0) = 0

である。つまり、変曲点は (0,1 / 2) である。

また、(0,1 / 2) を中心に点対称である。つまり、 \varsigma_a (x) - 1/2 は奇関数であり、

\varsigma_a (-x) = 1 - \varsigma_a (x)

を満たす。

逆関数は、

\varsigma _a ^{-1} (y) = \frac{1}{a} \ln \left( \frac{ y }{ 1 - y } \right) = \frac{1}{a} \operatorname{logit} y

と、ロジット関数で表せる。特に、標準シグモイド関数とロジット関数は互いに逆関数である。

導関数と二階導関数は

\dot \varsigma _a (x) = \frac{ a e^{-ax} }{ (1 + e^{-ax} ) ^2 } = a \varsigma_a (x) \{ 1 - \varsigma_a (x) \}
\ddot \varsigma _a (x) = a ^2 \varsigma_a (x) \{ 1 - \varsigma_a (x) \} \{ 1 - 2 \varsigma_a (x) \}

と、シグモイド関数自身を使って簡潔に表せる。

[編集] 他の関数との関係

双曲線正接関数

\tanh x = \frac{ e^x - e^{-x} }{ e^x + e^{-x} }

を使って

\varsigma_a (x) = \frac{ \tanh(a x / 2) + 1 }{ 2 }

とも表せる。

ロジスティック関数

N = \frac{K}{1 + \exp{r K (t_0 - t)}}

の特殊ケースで、r = a,K = 1,t0 = 0 と置いた場合にあたる。

[編集] 応用

導関数をシグモイド関数自身で簡単に導出できるため、微分成分が必要となるプロパゲーションに適している。パーセプトロンにおけるバックプロパゲーションなどで用いられる。

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最終更新 2008年11月18日 (火) 00:20 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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