シャプレー値

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シャプレー値（シャプレーち、Shapley value）とは、協力によって得られた利得を各プレイヤーへ公正に^[1] 分配する方法の一案である。 1953年にこの値を導入した ロイド・シャプレー (en:Lloyd Shapley) を記念して命名された。

[編集] シャプレー値が想定する状況

協力ゲームの理論では、プレイヤーが提携し、その提携によって獲得された報酬を分配するような状況を考える。 このときプレイヤー間で提携への貢献度が異なるとしたら、 どのように報酬を分配することが公正な分配であるといえるか、 各プレイヤーは作業全体に対してどれほど重要であり、 その重要度に応じた合理的な報酬を期待できるかという問題が生じる。 シャプレー値はこのような状況における公正な報酬計算方法の一つである。

[編集] 形式的な定義

状況を定式化するために、特性関数型ゲームの概念を導入する。 プレイヤーの集合 N および関数を へ定義する。 こうしてプレイヤーの部分集合から実数への関数（特性関数という）は以下の性質をもつ。

ここでS と T は N の任意の非交の（交わりが空集合の）部分集合である。

関数 u の性質は以下のとおりである。 もしも S がプレイヤーの提携で、協力に合意している場合、u(S) は その提携からの総報酬の期待値を示す。 このときの u(S) の値は S 以外のプレイヤーの行動とは独立に決まる。

不等式で示される第二の条件 u の優加法性とは、 二つのグループ（単独でもよい）が協働することで 報酬の総和が増えることはあっても減ることはないという性質を表す。

シャプレー値は，全員が協働するとしたときに，総報酬をプレイヤーに分配する方法の一つである。 この分配は，以下に示す条件を満足する唯一の分配案であるという意味で「公正な」分配である。 プレイヤー i は上記の定義に基づく特性関数 u のもとで、

という配分を得る。 ここで、n はプレイヤーの総数であり、 足し合わせの範囲は N の部分集合 S のうち プレイヤー i を含まないものすべてである。 本式は、プレイヤーがひとりずつ提携に加わり、その寄与分 を公正な報酬として要求するときの プレイヤー i の取り分を、 提携に参加する順序を変えたすべての順列について考え、平均したものである。

[編集] シャプレーベクトル

シャプレーベクトル (Shapley vector) は全プレーヤーのシャプレー値を要素とするベクトルであり、

φ(u) = (φ₁(u),φ₂(u),...,φ_n(u))

と表される。

[編集] 脚注

1. ^ ここでいう公正さとは「数学的に定義されたいくつかの条件を満たすこと」と同義である。

[編集] 翻訳元

本記事はウィキペディア英語版記事

• Shapley value. Wikipedia: Free Encyclopedia. [1]

16:08, 27 October 2007

からの抄訳に基づいて作成された。

[編集] 参考文献

• Lloyd S. Shapley. A Value for n-person Games. In Contributions to the Theory of Games, volume II, by H.W. Kuhn and A.W. Tucker, editors. Annals of Mathematical Studies v. 28, pp. 307-317. Princeton University Press.
• Eric Rasmusen. Games & Information 3rd Edition, Blackwell Publishers, 2001.