スキューズ数

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スキューズ数 (Skewes' number) は、一般には第1スキューズ数を指す。第1スキューズ数は、リーマン予想が真であると仮定した場合に、π(x) < li(x) が成立しなくなる最小の自然数 x である。ここで、π(x) は素数計数関数、li(x) は対数積分である。なお、リーマン予想が偽であると仮定した場合に π(x) < li(x) が成立しなくなる最小の自然数 x を、第2スキューズ数という。

[編集] 第1スキューズ数

第1スキューズ数の存在は1914年にリトルウッドによって証明された。続いて1933年にスキューズによって第1スキューズ数の上界が であることが示された。これは、 とほぼ等しい。この数は長い間、数学に現れたもっとも大きな数と言われていた。 その後、1966年にレーマンによって、リーマン予想を仮定せずともさらに小さな上界を得ることができることが示された。

[編集] 第2スキューズ数

第2スキューズ数の存在は1955年にスキューズによって証明され、上界が であることが示されている。その後、1966年にレーマンによって、1.53 × 10¹¹⁶⁵と1.65 × 10¹¹⁶⁵の間にπ(x) < Li(x)となる10⁵⁰⁰個の連続した整数が存在する、とくに第2スキューズ数の上界が1.65 × 10¹¹⁶⁵であることが示された。 その後、第2スキューズ数の上界は大幅に減り続け、

• 1987年には 6.62 × 10³⁷⁰と6.69 × 10³⁷⁰ の間にπ(x) < Li(x)となる10¹⁸⁰個の連続した整数が存在することが証明され、
• 2000年には1.398201 × 10³¹⁶と1.398244 × 10³¹⁶ の間にπ(x) < Li(x)となる10¹⁵³個の連続した整数が存在することが証明された。

[編集] 参考文献

C. Bays and R. H. Hudson, A new bound for the smallest x with π(x)>li(x), Math. Comp. 69(2000), 1285--1296.

R. S. Lehman, On the difference π(x)-li(x), Acta Arith. 11(1966), 397--410.

H. J. J. te Riele, On the sign of the difference π(x)-li(x), Math. Comp. 48(1987), 323--328.

[編集] 関連項目

• 数の一覧
• 巨大数
• 素数