テイラー展開

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テイラー展開（テイラーてんかい、Taylor expansion）とは、無限回微分可能な関数 f(x) から、テイラー級数（テイラーきゅうすう、Taylor series）と呼ばれる、負冪の項を持たない冪級数を得ることを言う。名称は数学者ブルック・テイラーに由来する。

実数または複素数関数のf(x)が一変数関数の場合には

$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^{n}$

ここでn!はnの階乗で、ƒ⁽ⁿ⁾(a)はƒのx=aにおけるn次導関数、ƒの0次導関数はƒ 自身である。また、(x − a)⁰と0!は1と定義されている。この冪級数がもとの関数 f(x) に一致するとき、f(x) はテイラー展開可能であるという。多変数関数の場合にも同様の展開法が考えられ、それもテイラー展開という。

厳密にはこの展開は x = a の近傍でのみ考えるものであり、x = a におけるテイラー展開とか、x = a のまわりでのテイラー展開という。a = 0 のとき

$\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}$

を特にマクローリン展開と呼ぶ。テイラー展開がある大域的な領域の各点で可能な関数は、その領域において解析的である、またはその領域上の解析関数であるという。

関数が無限回微分可能であっても、テイラー級数が元の関数とすべての x で一致するとは限らない。一致するかどうかは、テイラーの定理における剰余項 R_n が 0 に収束するかどうかによって判定できる；ここで R_n は
ある c ∈ (a, x) が存在して、

$R_n (x) = {f^{(n)}(c) \over n!} (x - a)^n$

と書ける。または積分を用いて、次のように表せる；

$R_n (x) = \int_a^x {(x-t)^{n-1} \over (n-1)!} f^{(n)}(t)\, dt.$

[編集] 例

いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらは全て複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。

多項式: 多項式をマクローリン展開したものは元の多項式自身である。
指数関数と自然対数: $e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x$; $\log(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{ for all } |x| < 1$
幾何級数: $\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{for all } |x| < 1$
二項定理: $(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad\mbox{for all } |x| < 1 \mbox{ and any complex } \alpha$
三角関数: $\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x$; $\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x$; $\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } |x| < \frac{\pi}{2}$; $\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for } |x| < \frac{\pi}{2}$; $\sin^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1$; $\tan^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1$
双曲線関数: $\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x$; $\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x$; $\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } |x| < \frac{\pi}{2}$; $\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1$; $\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1$
ランベルトの W 関数: $W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ for } |x| < \frac{1}{e}$

tan(x)とtanh(x)の展開に現われる数 B_k はベルヌーイ数である。二項展開の C(α,n) は二項係数である。 sec(x) の展開に現われる E_k はオイラー数である。

[編集] 和算におけるテイラー展開

同時期の鎖国下の日本において、1720年頃に、和算家建部賢弘によってテイラー級数が使用されている。建部自身が、何らかの公式であるとは認識してはいなかっただろうが、正1024角形のみを用いた40桁程度の円周率を導き出している。実質は $\frac{\left(\sin^{-1}(x)\right)^2}{2}$ の級数に $x = 1 / 2$ を代入したものである。

$\pi^2 = 9\left(1 + \frac{1^2}{3\cdot4} + \frac{1^2+2^2}{3\cdot4\cdot5\cdot6} + \frac{1^2+2^2+3^2}{3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8} + \cdots\right)$

後に松永良弼はこれを更に70桁台まで飛躍させた。実質は $sin - 1 x$ の級数に $x = 1 / 2$ を代入したもの。

$\pi = 3\left(1 + \frac{1^2}{4\cdot6} + \frac{1^2+3^2}{4\cdot6\cdot8\cdot10} + \frac{1^2+3^2+5^2}{4\cdot6\cdot8\cdot10\cdot12\cdot14} + \cdots\right)$

実のところは公式という認識にはいたっていなかっただろうが、和算の功績のひとつである。

最終更新 2009年11月7日 (土) 23:29 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【テイラー展開】変更履歴

テイラー展開

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[編集] 和算におけるテイラー展開

[編集] 関連項目

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