テータ関数

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以下の関数をヤコビのテータ関数（てーたかんすう）という。但し、 $\image\tau>0$ とする。

$\begin{align}\vartheta_1(v;\tau) &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})}} &=2\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\left(e^{{\pi}i{\tau}}\right)^{{(n+\frac{1}{2})}^2}\sin(2n+1){\pi}v}\\ \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_2(v;\tau) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})v}} &=2\sum_{n=0}^{\infty}{\left(e^{{\pi}i{\tau}}\right)^{{(n+\frac{1}{2})}^2}\cos(2n+1){\pi}v}\\ \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_3(v;\tau) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}inv}} &=1+2\sum_{n=1}^{\infty}{\left(e^{{\pi}i{\tau}}\right)^{n^2}\cos2n{\pi}v}\\ \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_4(v;\tau) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}in(v+\frac{1}{2})}} &=1+2\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\left(e^{{\pi}i{\tau}}\right)^{n^2}\cos2n{\pi}v}\\ \end{align}$

これらの関数は、 $v$ の関数と見た場合には疑二重周期を持ち楕円関数に関係し、 $τ$ の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。文脈から $v$ 或いは $τ$ が明らかな場合は $\vartheta_i(v)$ 或いは $\vartheta_i(\tau)$ と書き、更に $\vartheta_i=\vartheta_i(0,\tau)$ と書く。文献によっては $τ$ の代わりに $q = e π i τ$ を用いることもある。また、特にMathematica関係であるが、 $v$ の代わりに $π v$ を用いることがある。なお、英語版Wikipediaはテータ関数に関して独自の記号を採用しているが、次のように対応する。

$\vartheta(v;\tau)=\vartheta_{00}(v,\tau)=\vartheta_3(v,\tau)$

$\vartheta_{01}(v;\tau)=\vartheta_4(v,\tau)$

$\vartheta_{10}(v;\tau)=\vartheta_2(v,\tau)$

$\vartheta_{11}(v;\tau)=-\vartheta_1(v,\tau)$

[編集] 疑二重周期

テータ関数は準二重周期を持つ。

$\begin{align}\vartheta_1(v+1;\tau) &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})}}\\ &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+{\pi}i}}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})}}\\ &=-\vartheta_1(v;\tau)\\ \end{align}$

$\vartheta_2(v+1;\tau)=-\vartheta_2(v;\tau)$

$\vartheta_3(v+1;\tau)=\vartheta_3(v;\tau)$

$\vartheta_4(v+1;\tau)=\vartheta_4(v;\tau)$

$\begin{align}\vartheta_1(v+\tau;\tau) &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})\tau}}\\ &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+1+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+1+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}i(v+\frac{1}{2})}}\\ &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}i(v+\frac{1}{2})}}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}}\\ &=-e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_1(v;\tau) \end{align}$

$\vartheta_2(v+\tau;\tau)=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_2(v;\tau)$

$\vartheta_3(v+\tau;\tau)=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_3(v;\tau)$

$\vartheta_4(v+\tau;\tau)=-e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_4(v;\tau)$

[編集] 無限乗積表示と零点

ヤコビの三重積の公式により、

$\begin{align} \vartheta_1(v;\tau) &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+1/2\right)^2}e^{2{\pi}i(n+1/2)(v+1/2)}}\\ &=-ie^{{\pi}i{\tau}/4}e^{{\pi}iv}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2}e^{{\pi}i{\tau}n+2{\pi}ivn+{\pi}in}}\\ &=-ie^{{\pi}i{\tau}/4}e^{{\pi}iv}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{(2m-2){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=-ie^{{\pi}i{\tau}/4}e^{{\pi}iv}(1-e^{-2{\pi}iv})\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-2e^{2m{\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_2(v;\tau) &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\cos{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\cos{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+2e^{2m{\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_3(v;\tau) &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_4(v;\tau) &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}\\ \end{align}$

$| e 2 m π i τ | < 1$ であるから $\vartheta_3(v;\tau)$ の零点は

$\begin{align} \cos{2{\pi}v}&=-\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}}}{2}\\ \cos{2{\pi}v}&=\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+{\pi}i}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}-{\pi}i}}{2}\\ 2{\pi}v&=\left((2m-1){\pi}{\tau}+{\pi}\right)\pm2{\pi}n\\ v&=\frac{2n'+1}{2}+\frac{2m'+1}{2}\tau \end{align}$

である。他の関数の零点も同様にして求められる。

$\begin{align} &\vartheta_1(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=n+m\tau\\ &\vartheta_2(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=\frac{2n+1}{2}+m\tau\\ &\vartheta_3(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=\frac{2n+1}{2}+\frac{2m+1}{2}\tau\\ &\vartheta_4(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=n+\frac{2m+1}{2}\tau\\ \end{align}$

[編集] テータ定数

$v = 0$ のときのテータ関数の値をテータ定数(theta constant)、或いはドイツ語でthetanullwerte（テータ零値）という。これは定数といいながら実は $τ$ の関数である。

$\begin{align} \vartheta_2=\vartheta_2(0;\tau) &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_3=\vartheta_3(0;\tau) &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_4=\vartheta_4(0;\tau) &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ \end{align}$

$\vartheta_1=\vartheta_1(0;\tau)=0$ であるから、代わりに導関数を用いる。

$\begin{align} \vartheta_1'&=\left[\frac{d}{dv}\vartheta_1(v;\tau)\right]_{v=0}\\ &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\pi\cos(0)\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^3}+2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin(0)\frac{d}{dv}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=2{\pi}e^{{\pi}i{\tau}/4}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^3}\\ \end{align}$

$c=\pi\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4/\vartheta_1'$ とすると

$\begin{align}c &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1-e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ \end{align}$

でなるが、オイラーの分割恒等式により、

$\prod_{m-1}^{\infty}\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)=\prod_{m-1}^{\infty}\left(1-e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^{-1}$

であるから、 $c = 1$ であり、故に $\vartheta_1'=\pi\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4$ である。

[編集] 恒等式

テータ関数の間で次の恒等式が成立する。

$\vartheta_3\left(v+\frac{1}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{in}(v+1/2)}=\vartheta_4(v,\tau)$

$\vartheta_2\left(v+\frac{1}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}(n+1/2)^2+2\pi{i(n+1/2)}(v+1/2)}=-\vartheta_1(v,\tau)$

$\vartheta_3\left(v+\frac{\tau}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{in}(v+\tau/2)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}(n+1/2)^2-\pi{i\tau}/4+2\pi{i(n+1/2)v}-\pi{iv}}=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{-\pi{iv}}\vartheta_2(v,\tau)$

疑二重周期と併せて

$\vartheta_1\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\pm\vartheta_2(v;\tau)$

$\vartheta_2\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\mp\vartheta_1(v;\tau)$

$\vartheta_3\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\vartheta_4(v;\tau)$

$\vartheta_4\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\vartheta_3(v;\tau)$

$\vartheta_1\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=\pm{i}e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_4(v;\tau)$

$\vartheta_2\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_3(v;\tau)$

$\vartheta_3\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_2(v;\tau)$

$\vartheta_4\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=\pm{i}e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_1(v;\tau)$

次の恒等式はヤコビの虚数変換式という。

$\vartheta_1\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=i\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_1\left(v,\tau\right)$

$\vartheta_2\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_4\left(v,\tau\right)$

$\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_3\left(v,\tau\right)$

$\vartheta_4\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_2\left(v,\tau\right)$

他に $τ$ を変換するものとして

$\vartheta_3\left(v,\tau+1\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}(\tau+1)n^2+2\pi{i}nv}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}=\vartheta_4(v,\tau)$

$\begin{align}\vartheta_3\left(v,\tau\right) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n)^2}+2\pi{i}(2n)v}+\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n+1)^2}+2\pi{i}(2n+1)v}\qquad({n}\mapsto{2n,2n+1})\\ &=\vartheta_3\left(2v,4\tau\right)+\vartheta_2\left(2v,4\tau\right) \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_4\left(v,\tau\right) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n)^2}+2\pi{i}(2n)v}-\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n+1)^2}+2\pi{i}(2n+1)v}\qquad({n}\mapsto{2n,2n+1})\\ &=\vartheta_3\left(2v,4\tau\right)-\vartheta_2\left(2v,4\tau\right) \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_3\left(0,\tau\right)^2 &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{m^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{n^2}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(m^2+n^2)}}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((m+n)^2+(m-n)^2\right)/2}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m)^2+(2n)^2\right)/2}+\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+1)^2+(2n+1)^2\right)/2}\qquad(\left\lfloor\textstyle\frac{m+n}{2}\right\rfloor\mapsto{m},\left\lfloor\textstyle\frac{m-n}{2}\right\rfloor\mapsto{n})\\ &=\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2+\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2 \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_4\left(0,\tau\right)^2 &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}e^{\pi{i}\tau{m^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m+n}e^{\pi{i}\tau{(m^2+n^2)}}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m+n}e^{\pi{i}\tau\left((m+n)^2+(m-n)^2\right)/2}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m)^2+(2n)^2\right)/2}-\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+1)^2+(2n+1)^2\right)/2}\qquad(\left\lfloor\textstyle\frac{m+n}{2}\right\rfloor\mapsto{m},\left\lfloor\textstyle\frac{m-n}{2}\right\rfloor\mapsto{n})\\ &=\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2-\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2 \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_2\left(0,\tau\right)^2 &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(m+1/2)^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(n+1/2)^2}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{\left((m+1/2)^2+(n+1/2)^2\right)}}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((m+n+1)^2+(m-n)^2\right)/2}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+1)^2+(2n)^2\right)/2}+\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+2)^2+(2n+1)^2\right)/2}\qquad(\left\lfloor\textstyle\frac{m+n}{2}\right\rfloor\mapsto{m},\left\lfloor\textstyle\frac{m-n}{2}\right\rfloor\mapsto{n})\\ &=2\vartheta_3\left(0,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right) \end{align}$

これにより

$\begin{align}\vartheta_3\left(0,\tau\right)^4-\vartheta_4\left(0,\tau\right)^4 &=\left(\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2+\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2\right)^2-\left(\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2-\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2\right)^2\\ &=4\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2\\ &=\vartheta_2\left(0,\tau\right)^4 \end{align}$

[編集] ランデンの公式

次の恒等式はランデン(Landen)の公式という。

$\vartheta_4(0,2\tau)\vartheta_4(2v,2\tau)=\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau)$

$\vartheta_4(0,2\tau)\vartheta_1(2v,2\tau)=\vartheta_2(v,\tau)\vartheta_1(v,\tau)$

第一式の左辺を展開すれば

$\begin{align}\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau) &=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{inv}}\right)\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}e^{\pi{i\tau}m^2+2\pi{imv}}\right)\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}e^{\pi{i\tau}(n^2+m^2)+2\pi{i(n+m)v}}\\ \end{align}$

となるが、 ${n}\pm{m}$ が奇数の項は ${n}\gtrless{m}$ で打ち消し合うから

$\begin{align}\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau) &=\sum_{n'=-\infty}^{\infty}\sum_{m'=-\infty}^{\infty}(-1)^{n'-m'}e^{2\pi{i\tau}(n'^2+m'^2)+4\pi{in'v}}\qquad({n}\mapsto{n'+m'},{m}\mapsto{n'-m'})\\ &=\left(\sum_{n'=-\infty}^{\infty}(-1)^{n'}e^{2\pi{i\tau}n'^2+4\pi{in'v}}\right)\left(\sum_{m'=-\infty}^{\infty}(-1)^{m'}e^{2\pi{i\tau}m'^2}\right)\\ &=\vartheta_4(2v,2\tau)\vartheta_4(0,2\tau) \end{align}$

となり、右辺を得る。第二式は第一式に $v'=v+\textstyle\frac{\tau}{2}$ を代入して得る。

[編集] 加法定理

例えば

$\begin{align}\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}in(x+y)+{\pi}i{\tau}m^2+2{\pi}im(x-y)}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{2{\pi}i{\tau}\left(\tfrac{n+m}{2}\right)^2+4{\pi}i\left(\tfrac{n+m}{2}\right)x+2{\pi}i{\tau}\left(\tfrac{n-m}{2}\right)^2+4{\pi}i\left(\tfrac{n-m}{2}\right)y}\\ \end{align}$

であるが、 $n{\pm}m$ は共に偶数か共に奇数であるから、 $N=\lfloor\tfrac{n+m}{2}\rfloor,M=\lfloor\tfrac{n-m}{2}\rfloor$ とすれば

$\begin{align}\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right) &=\sum_{N=-\infty}^{\infty}\sum_{M=-\infty}^{\infty}e^{2{\pi}i{\tau}N^2+4{\pi}iNx+2{\pi}i{\tau}M^2+4{\pi}iMy}\qquad(n{\pm}m\;\mbox{even})\\ &\quad+\sum_{N=-\infty}^{\infty}\sum_{M=-\infty}^{\infty}e^{2{\pi}i{\tau}\left(N+\tfrac{1}{2}\right)^2+4{\pi}i\left(N+\tfrac{1}{2}\right)x+2{\pi}i{\tau}\left(M+\tfrac{1}{2}\right)^2+4{\pi}i\left(M+\tfrac{1}{2}\right)y}\qquad(n{\pm}m\;\mbox{odd})\\ &=\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)+\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right) \end{align}$

となる。ここで $x\mapsto{x+\tfrac{1}{2}\tau}$ とすれば

$\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)=\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)+\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)$

となり、 $x\mapsto{x+\tfrac{1}{2}}$ とすれば

$\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)=\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)-\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)$

となる。これらにより

$\begin{align}\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau) &=\left(\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)+\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)\right)\left(\vartheta_3^{\;2}\left(0,2\tau\right)+\vartheta_2^{\;2}\left(0,2\tau\right)\right)\\ &=\left(\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)+\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)\right)\left(\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)+\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)\right)\\ &\quad+\left(\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)-\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)\right)\left(\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)-\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)\right)\\ &=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right) \end{align}$

が得られ、同様にして数十もの恒等式が得られる。

$\begin{align} &\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_1\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ \end{align}$

$\begin{align} &\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_1\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ \end{align}$

$\begin{align} &\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_1\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ \end{align}$

$\begin{align} &\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)=\vartheta_1\left(x,\tau\right)\vartheta_2\left(x,\tau\right)\vartheta_3(y,\tau)\vartheta_4(y,\tau)+\vartheta_3\left(x,\tau\right)\vartheta_4\left(x,\tau\right)\vartheta_1(y,\tau)\vartheta_2(y,\tau)\\ &\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)=\vartheta_1\left(x,\tau\right)\vartheta_3\left(x,\tau\right)\vartheta_2(y,\tau)\vartheta_4(y,\tau)+\vartheta_2\left(x,\tau\right)\vartheta_4\left(x,\tau\right)\vartheta_1(y,\tau)\vartheta_3(y,\tau)\\ &\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_2(0,\tau)=\vartheta_1\left(x,\tau\right)\vartheta_4\left(x,\tau\right)\vartheta_3(y,\tau)\vartheta_2(y,\tau)+\vartheta_3\left(x,\tau\right)\vartheta_2\left(x,\tau\right)\vartheta_1(y,\tau)\vartheta_4(y,\tau)\\ \end{align}$

$x = y = z$ とすれば

$\begin{align} &\vartheta_1\left(2z,\tau\right)\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)=2\vartheta_1\left(z,\tau\right)\vartheta_2(z,\tau)\vartheta_3(z,\tau)\vartheta_4(z,\tau)\\ &\vartheta_2\left(2z,\tau\right)\vartheta_2^{\;3}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_1^{\;4}\left(z,\tau\right)=\vartheta_3^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_4^{\;4}\left(z,\tau\right)\\ &\vartheta_3\left(2z,\tau\right)\vartheta_3^{\;3}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;4}\left(z,\tau\right)+\vartheta_1^{\;4}\left(z,\tau\right)=\vartheta_2^{\;4}\left(z,\tau\right)+\vartheta_4^{\;4}\left(z,\tau\right)\\ &\vartheta_4\left(2z,\tau\right)\vartheta_4^{\;3}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_1^{\;4}\left(z,\tau\right)=\vartheta_3^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_2^{\;4}\left(z,\tau\right)\\ \end{align}$

などが得られ、更に $z = 0$ とすれば

$\vartheta_3^{\;4}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;4}\left(0,\tau\right)+\vartheta_4^{\;4}\left(0,\tau\right)$

が得られる。

[編集] 対数微分

無限乗積表示

$\vartheta_1(v,\tau)=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}$

の対数微分により

$\begin{align}\frac{\vartheta_1'(v,\tau)}{\vartheta_1(v,\tau)}&=\frac{\partial}{\partial{v}}\log\vartheta_1(v,\tau)\\ &=\frac{\pi\cos\pi{v}}{\sin\pi{v}}-2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{e^{2m\pi{i\tau}}e^{2\pi{iv}}}{1-e^{2m\pi{i\tau}}e^{2\pi{iv}}}+2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{e^{2m\pi{i\tau}}e^{-2\pi{iv}}}{1-e^{2m\pi{i\tau}}e^{-2\pi{iv}}}\\ &=\pi\cot\pi{v}-2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}e^{2mn\pi{i\tau}}e^{2\pi{inv}}\right)+2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}e^{2mn\pi{i\tau}}e^{-2\pi{inv}}\right)\\ &=\pi\cot\pi{v}-2\pi{i}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{m=1}^{\infty}e^{2mn\pi{i\tau}}\right)\left(e^{2\pi{inv}}-e^{-2\pi{inv}}\right)\\ &=\pi\cot\pi{v}+4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{2n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\ \end{align}$

である。同様に

$\begin{align} \frac{\vartheta_2'(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)}&=-\pi\tan\pi{v}+4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)^n}e^{2n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\ \frac{\vartheta_3'(v,\tau)}{\vartheta_3(v,\tau)}&=4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)^n}e^{n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\ \frac{\vartheta_4'(v,\tau)}{\vartheta_4(v,\tau)}&=4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\ \end{align}$

である。

最終更新 2009年6月3日 (水) 18:03 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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