ディリクレ分布

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ディリクレ分布（ディリクレぶんぷ、Dirichlet distribution）は、連続型の確率分布である。ベータ分布を多変量に拡張して一般化した形をしており、そのため多変量ベータ分布とも呼ばれる。ディリクレ分布の確率密度関数は、同時に発生することのない $K$ 個の事象がそれぞれ $α i - 1$ 回発生したときに、各事象の起こる確率が $x i$ である確率を与える。つまり、試行の回数が無限大なら各事象の発生する頻度は $x i$ になるが、試行回数が有限だと、そこにずれが生じる。そのずれを表すモデルである。

[編集] 定義と性質

$\vec{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ をパラメータ、実数ベクトル $\vec{x}=(x_1,\ldots,x_K)$ を確率変数とするときの $K - 1$ 次のディリクレ分布の確率密度関数は以下の式で定義される。

$\frac{1}{Z}\prod_{i=1}^Kx_i^{\alpha_i-1}$

ここで $x_i\ge 0$ 、 $\sum x_i=1$ 、 $\alpha_i\ge 0$ であり、 $Z$ は多変量に拡張したベータ関数で、以下の式で定義される。

$Z=\frac{\prod_{i=1}^K\Gamma(\alpha_i)}{\Gamma(\sum_{i=1}^K\alpha_i)}$

このとき、 $\vec{x}$ 第 $i$ 要素の期待値は $\frac{\alpha_i}{\sum_{i=1}^K\alpha_i}$ 、同じく分散は $\frac{\alpha_i\sum_{j\neq i}\alpha_j}{(\sum_{i=1}^K\alpha_i)^2(1+\sum_{i=1}^K\alpha_i)}$ である。