デデキント切断
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デデキント切断(Dedekind cut)、あるいは単に切断(Schnitt)とは、リヒャルト・デデキントが考案した数学的な手続きで、実数論の基礎付けに用いられる。
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[編集] 定義
全順序集合Kを、一方が他方の全ての元よりも小であるような二つの組に分けたとする。
このような組(A,B)をデデキント切断という。
[編集] 概論
以下ではさしあたり実数を与えられた物として議論を進める。仮に上記のA,Bをそれぞれ下組、上組としておく。
今任意の実数sを一つ考えると、sを"境界"として大小関係をとることで、実数を二つに分ける事ができる。s自身もどちらかには所属するので一方に等号が必要となる。等号をどちらに取るかによってsは下組の最大値か、上組の最小値となるが、いずれにせよsによって実数は切断される事が分かる。
この逆として実数の切断を与えることで、対応する境界の元をただ一つ定めることができる。これをデデキントの定理と言う。
一般に全順序集合の切断には、四つの場合が考えられる。
例えば整数の場合、どのような切断においても最小元、最大元が共に存在し、切断によって二数が必ず定まる(切断1)。
有理数の場合、稠密性から任意の二つの有理数の間に無数の有理数が存在するため、切断1は不可能である。また適当な無理数を境界に定めて有理数を二つに分けることで切断4が可能であるため、ただ一つの数が確定するとは限らない。
デデキントの定理の主張は、実数の切断は2,3のどちらかしかあり得ず、この時の等号によって一つの数を確定できるということである。
この定理は実数の連続性と同値である。ここでは実数を与えられた物として切断の振る舞いを見たが、逆に「切断が一つの数を確定する」ことを公理に採用して有理数の"隙間"を埋めてやり、実数を構成してもよい。
[編集] 参考文献
- デーデキント『数について 連続性と数の本質』河野伊三郎訳、岩波書店〈岩波文庫〉、1961年、ISBN 4-00-339241-8
[編集] 関連項目
[編集] 外部リンク
- Eric W. Weisstein. Dedekind Cut, MathWorld.（英語）
最終更新 2009年4月13日 (月) 03:01 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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