ド・モアブルの定理

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ド・モアブルの定理（-ていり。ド・モアブルの公式（-こうしき）とも）とは整数 $n$ に対して、

(cosθ + i sinθ) n = cos n θ + i sin n θ

が成り立つという複素数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブルに因む。証明には三角関数の加法定理が利用される。

ひとたびド・モアブルの定理が証明されそれが既知であるならば、定理の等式に現れる n を自然数とするとき、左辺の冪乗を展開して実部・虚部を比較することで、n 倍角の公式を導出することができる。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n 倍角の公式を内在的に含んでいる。

オイラーの公式によれば、この定理は複素変数の指数関数に関する指数法則（の一部）

$\exp (i \theta)^{n} = \exp (i n \theta)\quad(\theta \isin R, n \isin Z)$

の成立を意味するものである。

[編集] 証明

1. まずはnが（0を含む）自然数であるときに、数学的帰納法を用いて定理の成立を示す。

[i] $n = 0$ のとき

（左辺）

= (cosθ + i sinθ) 0 = 1

（右辺）

= cos0 + i sin0 = 1

よって $n = 0$ のとき成立。

[ii] $n = k$ のとき

(cosθ + i sinθ) k = cos k θ + i sin k θ

が成り立つならば、

(cosθ + i sinθ) k + 1

= (cosθ + i sinθ) k (cosθ + i sinθ)

= (cos k θ + i sin k θ)(cosθ + i sinθ)

$= \cos k \theta \cdot \cos \theta + \cos k \theta \cdot i \sin \theta + i \sin k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta$

$= (\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta) + i(\cos k \theta \cdot \sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta)$

ここで加法定理より、

$\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta = \cos (k\theta + \theta)$

$\cos k \theta \cdot \sin \theta + \sin k \theta \cdot \cos \theta = \sin (k\theta + \theta)$

であるから、結局

(cosθ + i sinθ) k + 1 = cos((k + 1)θ) + i sin((k + 1)θ)

となり、 $n = k + 1$ のときも定理は成立する。

よって、[i], [ii]からすべての自然数nに対してド・モアブルの定理が成り立つ。

2. 続いてnが負の整数の場合を、既に示したnが自然数の場合を利用して証明する。

$n < 0$ のとき $n = - m$ となる自然数mをとると、1よりmに対しては定理の等式が成立するから、

(cosθ + i sinθ) - m

$= {1 \over {(\cos \theta + i \sin \theta)^{m}}}$

$= {1 \over {\cos m \theta + i \sin m \theta}}$

$= {{\cos m \theta - i \sin m \theta} \over {(\cos m \theta + i \sin m \theta)(\cos m \theta - i \sin m \theta)}}$

= cos m θ - i sin m θ

であり、また、

cos( - m θ) + i sin( - m θ) = cos m θ - i sin m θ

であるから $n < 0$ のときも成り立つ。

以上からド・モアブルの定理は任意の整数nについて成り立つことが示された。

最終更新 2009年10月15日 (木) 17:10 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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