ハミルトン力学

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ハミルトン力学（ハミルトンりきがく、Hamiltonian mechanics）は、イギリスの物理学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンが創始した古典力学の一分野。ラグランジュ力学と同様にニュートン力学を再公式化した解析力学の一形式。

ハミルトニアン

$H(q_i,p_i) \,= T(p_i) + V(q_i)$

ここで、 $H$ がハミルトニアンである。 $T$ は運動エネルギー、 $V$ はポテンシャルエネルギーを表す。また、 $p i$ は運動量、 $q i$ は一般化座標としての位置を表す。 $i$ は座標軸の番号（3次元空間では1,2,3の任意のどれか）である。 $T$ は $p i$ のみに依存する関数、 $V$ は $q i$ のみに依存する関数であるので留意すること。

正準方程式

$\dot{p}_i=-\frac{\partial{}H}{\partial{}q_i}$

$\dot{q}_i=\frac{\partial{}H}{\partial{}p_i}$

正準方程式から正準方程式への変換（例：(q,p)→(Q,P)、二つの異なる位相空間同士の対応）を正準変換(Canonical transformation)と言う。

正準運動量

$p_i = \frac{\partial{}L}{\partial{}\dot{q}_i}$

ポアソン括弧（ポアソンの括弧式）

$\{A,B\} = \sum_{i} \left( \frac{\partial{}A}{\partial{}q_i}\frac{\partial{}B}{\partial{}p_i}-\frac{\partial{}B}{\partial{}q_i}\frac{\partial{}A}{\partial{}p_i}\right)$

$\{H,p_i\} = \dot{p}_i$

$\{H,q_i\} = \dot{q}_i$

$\{p_i,q_j\} \,= \delta_{ij}$

量子力学の演算子としてのハミルトニアンは対応するハミルトン力学のハミルトニアンを正準量子化して得られる。

また量子多体論において用いられるTDHF近似は、ある変換の下でハミルトン力学と等価である事が知られている。この事は古典力学が単なる量子力学の近似ではなく、この世界における何らかの事実を表しているという期待を持たせる。

最終更新 2009年10月31日 (土) 09:56 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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