パンルヴェ方程式

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以下の 6つの方程式をパンルヴェ方程式という。

$P_{\rm I}:\frac{d^2y}{dx^2} = 6y^2+x$

$P_{\rm II}:\frac{d^2y}{dx^2} = 2y^3+xy+\alpha$

$P_{\rm III}:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}\left(\alpha y^2+\beta\right)+\gamma y^3+\frac{\delta}{y}$

$P_{\rm IV}:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\frac{3}{2}y^3+4xy^2+2\left(x^2-\alpha\right)+\frac{\beta}{y}$

$P_{\rm V}:\frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{1}{2y}+\frac{1}{y-1}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{(y-1)^2}{x^2}\left(\alpha y+\frac{\beta}{y}\right)+c\frac{y}{x}+\delta\frac{y(y+1)}{y-1}$

$P_{\rm VI}:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y-1}+\frac{1}{y-x}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-x}\right)\frac{dy}{dx}$