フーリエ変換

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数学においてフーリエ変換（ - へんかん、英語: Fourier transform; FT）は「位置」の情報によって記述された函数に対し「周波数」による記述をあたえる函数空間の間の変換である。フーリエ変換によって音や電磁波などの波の波形からどのような周波数の波が含まれているかを抜き出すことができる。変換後の函数はもとの函数の周波領域 (frequency domain) 表現と呼ばれることもある。

フーリエ変換はジョゼフ・フーリエによって熱方程式の解を構成する手法として導入されたフーリエ級数の研究に端を発しており、現在ではフーリエ解析および調和解析とよばれる分野を始め数学の様々な分野でもちいられている。

フーリエ変換は理学や工学の諸分野に様々な応用を持つ。フーリエ変換が有効なもっとも典型的な例は調和振動子型の方程式によってあらわされる現象の解析である。また、計算機上のシミュレーションや信号解析などの際に重要な技法に離散フーリエ変換を計算機上で高速で計算できるようにした高速フーリエ変換 (FFT)がある。

フーリエ変換の記述の方法には分野や文脈による規約の違い（おもに実数の空間上の不変測度の正規化の違いに起因する）を起因として係数などに細かな違いが見られるが、これらは本質的にみな同じものである。

[編集] 導入

フーリエ変換を考える動機はフーリエ級数の研究に始まる。フーリエ級数の研究において、複雑な周期函数は単純な波動の数学的な表現である正弦関数や余弦関数の和として表される。正弦や余弦の性質のおかげで、この和に現れる各波の量を、周期関数と一定の正弦関数や余弦関数の積の積分によって復元することができる。

多くの場合に、e^2πiθ = cos　2πθ + i sin　2πθ であることを述べたオイラーの公式を用い、基本波動 e^2πθ によってフーリエ級数を記述するほうが都合が良い。この場合には多くの公式が簡単化され、本項で後述するフーリエ変換のほかの類似の定式化をあたえるという点に優位性がある。この正弦・余弦から複素指数関数への移行にはフーリエ係数が複素数値であることを要する。この複素数は、函数に含まれる波動の振幅（あるいは大きさ）と、位相（あるいは初期角）の両方を与えているものと通常は解釈される。また、この移行においては「負の周波数」も必要になる。一定の点における時刻θ での振幅が e^2πiθ や e^−2πiθ で表される波動はともに単位時間毎にちょうど一巡するが、両者はフーリエ変換において別々の周波数として表される。したがって、周波数は単位時間ごとの周回数のほかに位相の進行方向もこめた情報を持つことになる。

フーリエ級数を以下のようにしてフーリエ変換の動機付けに用いることができる。函数 ƒ をある区間 [−L/2, L/2] の外側で 0 となるようなものとすると、任意の T ≥ L に対して ƒ を区間 [−T/2,T/2] 上のフーリエ級数に拡張できる。ここで f のフーリエ級数に現れる波動 e^2πinx/T の係数となる c_n で表される「量」は

$\hat{f}(n/T)=c_n=\int_{-T/2}^{T/2} e^{-2\pi i nx/T}f(x)\,dx$

で与えられ、ƒ は公式

$f(x)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(n/T) e^{2\pi i nx/T}$

で与えられなければならない。ξ_n = n/T とおき、Δξ = (n + 1)/T − n/T = 1/T とおくと、最後の和をリーマン和

$f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(n/T) e^{2\pi i x\xi_n}\Delta\xi$

として考えることができる。T → ∞ とすることにより、このリーマン和は定義節で与えられるフーリエ逆変換に収束する。適当な条件の下では、この議論をもっと明確化することができる (Stein & Shakarchi 2003)。したがって、この場合はフーリエ級数だが、フーリエ変換は函数に含まれる個々の特定の周波数がどの程度あるかを測るものと考えることができ、それらの波動を積分（あるいは「連続和」）によって再結合して元の函数を復元することができる。

以下の画像はフーリエ変換が特定の函数に含まれる周波数を測る方法を視覚的に現したものである。函数として、（t が秒で測られる場合には）3 ヘルツで振動し、急速に 0 になる

$f(t)=\cos(6\pi t)e^{-\pi t^2}$

を描く。この函数は特に描画しやすい実フーリエ変換をもつものとして選ばれたものであり、最初の画像はそのグラフである。f^{^}(3) を計算するために、e^−2πi(3t)ƒ(t) を積分する。二枚目の画像はこの被積分函数の実部および虚部である。被積分函数の実部は殆ど常に正となる。これは ƒ(t) が負であるときには e^−2πi(3t) の実部が同様に負となることによる。それらは同じ比率で振動するから、ƒ(t) が正であるときも同様に e^−2πi(3t) の実部も正になる。この結果、被積分函数の実部のを積分すれば、比較的大きな数値（ここでの場合 0.5）を得ることになる。いっぽう、（f^{^}(5) を見る場合のように）含まれない周波数を測れば、被積分函数は十分に振動し、それゆえにその積分はとても小さい値となる。一般の設定ではこれよりは少し複雑になるが、それでもフーリエ変換は函数 ƒ(t) に含まれる個々の周波数がどれくらいあるかを測るものという考え方に変わりはない。

3ヘルツの振動を示すもとの函数

3ヘルツにおけるフーリエ変換の被積分函数の実部および虚部

5ヘルツにおけるフーリエ変換の被積分函数の実部および虚部

3ヘルツおよび5ヘルツでラベル付けされたフーリエ変換

[編集] 定義

可積分函数 f: R → C のフーリエ変換の定義として、よく用いられるものにもいくつか異なる流儀がある (Kaiser 1994)。本項では

$\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx$

を定義として用いる。ここでギリシャ文字小文字の ξ は任意の実数である。

独立変数 x が（SI単位の秒を単位とする）「時間」を表しているときは、変換の変数 ξ は「周波数」（ヘルツ）を表す。適当な条件のもと、f はその変換 $\hat{f}$ からフーリエ逆変換 (inverse transform)

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i x \xi}\,d\xi$

によって復元することができる（x は任意の実数）。他の定義や記法については後述。

[編集] フーリエ変換の性質

[編集] 基本性質

可積分函数 f(x), g(x), h(x) が与えられたとき、これらのフーリエ変換をそれぞれ $\hat{f}(\xi)$ , g^{^}(ξ), h^{^}(ξ)で表す。フーリエ変換は以下の基本性質を満たす (Pinsky 2002)。

線型性: 任意の複素数 a, b について h(x) = aƒ(x) + bg(x) であるならば
$\hat{h}(\xi)=a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot\hat{g}(\xi)$
が成り立つ。
平行移動: 任意の実数 x₀ に対して h(x) = ƒ(x − x₀) であるならば
$\hat{h}(\xi)= e^{-2\pi i x_0\xi }\hat{f}(\xi)$
が成り立つ。
変調: 任意の実数 ξ₀ に対して h(x) = e^2πixξ₀ƒ(x) ならば
$\hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi-\xi_{0})$
が成り立つ。
定数倍: 非零実数 a に対し、h(x) = ƒ(ax) ならば
$\hat{h}(\xi)=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)$
が成り立つ。a = −1 つまり h(x) = ƒ(−x) の場合には、時間反転性 (time-reversal property)
$\hat{h}(\xi)=\hat{f}(-\xi)$
が導かれる。
複素共軛: h(x) = f(x) ならば
$\hat{h}(\xi) = \overline{f^{\wedge}(-\xi)}$
が成り立つ。
畳み込み: h(x) = (f ∗ g)(x) ならば
$\hat{h}(\xi)=\hat{f}(\xi)\cdot \hat{g}(\xi)$
が成り立つ。

[編集] 一様連続性とリーマン・ルベーグの補題

可積分函数 ƒ のフーリエ変換は一様連続で

$\|\hat{f}\|_{\infty}\leq \|f\|_1$

を満たす (Katznelson 1976)。さらに、リーマン・ルベーグの補題によって可積分函数のフーリエ変換は

$|\xi|\to \infty$ のとき $\hat{f}(\xi)\to 0$

となっている (Stein & Weiss 1971)。可積分函数 f のフーリエ変換 $\hat{f}$ は有界連続だが可積分であるとは限らず、その逆変換をルベーグ積分として書くことは一般にはできない。しかしながら、ƒ および $\hat{f}$ がともに可積分ならば、反転公式

$f(x) = \int_{-\infty}^\infty \hat f(\xi) e^{2 i \pi x \xi} \, d\xi$

が殆ど全ての x において成り立つ。つまり、ƒ は右辺で定義される連続函数と殆ど至る所等しい。特に ƒ が実数直線上の連続函数として与えられたならば全ての x において等式が成り立つ。

前述の結果としてわかることは、フーリエ変換が L¹(R) 上単射であることである。

[編集] プランシュレルの定理とパーセバルの定理

f(x) および g(x) は可積分であるとし、そのフーリエ変換をそれぞれ $\hat{f}(\xi)$ および $\hat{g}(\xi)$ と表す。f(x) および g(x) がともに自乗可積分であるならばパーセバルの定理

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \overline{g(x)} \, dx = \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\xi) \overline{\hat{g}(\xi)} \, d\xi$

が成立する (Rudin 1987, p. 187)。ここで $\bar{\lambda}$ は複素数λの複素共役を表す。

パーセバルの定理と同値なプランシュレルの定理によれば

$\int_{-\infty}^\infty \left| f(x) \right|^2\, dx = \int_{-\infty}^\infty \left| \hat{f}(\xi) \right|^2\, d\xi$

が成立する (Rudin 1987, p. 186)。プランシュレルの定理により、L²(R) に属する函数の後述する意味でのフーリエ変換を定義することが可能になる。プランシュレルの定理は、フーリエ変換はもとの量のエネルギーを保存するという自然科学における解釈を持つ。著者によってはこれらの定理のどちらともをプランシュレルの定理あるいはパーセバルの定理と呼んでいる場合があるので注意を要する。

局所コンパクト可換群の文脈におけるフーリエ変換の定式化については#抽象化の節を参照のこと。

[編集] 不確定性原理

正規化の問題を無視すれば、スケーリング因子 a について

f(ax)のフーリエ変換 = $\frac{1}{a}\hat{f}(\frac{\xi}{a})$

がなりたつ。これは、f(x) が凝縮されればされるほどそのフーリエ変換 $\hat{f}$ はより拡散されることをしめしている。したがって、関数とそのフーリエ変換の両方ともを勝手に局在化させることはできない。

関数とそのフーリエ変換のコンパクト化のあいだの得失評価は不確定性原理の形で定式化することができる。ƒ(x) は可積分かつ自乗可積分であると仮定する。一般性を失うことなく関数 ƒ(x) は

$\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \,dx=1$

に正規化されているものと仮定してよい。このとき、プランシュレルの定理により $\hat{f}(\xi)$ も同様に正規化される。

x = 0 の周りでの拡散は

$D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,dx$

で定義される「0 の周りでの分散」(dispersion about zero) によって測ることができる (Pinsky 2002)。確率の言葉で言えば、これは密度分布 |f(x)|² の、二次のモーメントである。

このとき不確定性原理は、関数 ƒ(x) が絶対連続で、かつ関数 x·ƒ(x) および ƒ′(x) が自乗可積分であるならば

$D_0(f)D_0(\hat{f}) \geq \frac{1}{16\pi^2}$

が成り立つことを述べる (Pinsky 2002)。等式が成立するのは

$f(x)=C_1 \, e^{{- \pi x^2}/{\sigma^2}}$

したがって、

$\hat{f}(\xi)= \sigma C_1 \, e^{-\pi\sigma^2\xi^2}$

である場合に限る。ただし、定数 σ > 0 は任意であり、係数 C₁ は ƒ を L²-正規化する定数である (Pinsky 2002)。言い換えれば、 ƒ が 0 を中心に持つ（正規化）正規分布のとき等号が成り立つ。

事実として、この不等式は任意の x₀, ξ₀ ∈ R について

$\left(\int_{-\infty}^\infty (x-x_0)^2|f(x)|^2\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty(\xi-\xi_0)^2|\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi\right)\geq \frac{1}{16\pi^2}$

が成立することをも含む (Stein & Shakarchi 2003)。

量子力学において、運動量と位置の波動関数は（プランク定数を因子に持つ）フーリエ変換対である。プランク定数を厳密に勘定に入れることで、上述の不等式はハイゼンベルグの不確定性原理を記述する (Stein & Shakarchi 2003)。

[編集] ポワソン和公式

詳細は「ポワソン和公式」を参照

ポワソン和公式は、整数のなす加法群Zの実数のなす加法群Rへの埋め込みから来る周期化と制限が、フーリエ変換とフーリエ級数の間にみちびく関係を述べている。可積分函数 ƒ ∈ L¹(Rⁿ) が与えられたとき、ƒ の周期化が

$f^\sum (x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n} f(x+k)$

によって与えられる。このとき、ポワソン和公式は $f^\sum$ のフーリエ級数が ƒ のフーリエ変換の格子点への制限によって得られることを主張している。つまり、

$f^\sum(x) = \sum_{k\in\mathbb{Z}^n} \hat{f}(k)e^{2\pi i k\cdot x}$

がなりたっている。

ポワソン和公式を用いて、大きな次元のユークリッド球面における格子点の数に対するランダウの漸近公式を導出することができる。また、可積分函数 f と $\hat{f}$ がともにコンパクト台を持つならば ƒ = 0 を示すこともできる (Pinsky 2002)。

[編集] 畳み込み定理

詳細は「畳み込み定理」を参照

フーリエ変換は、函数の畳み込みと函数の（点毎の）積とを相互に変換する。ƒ(x) および g(x) が可積分函数であるとし、そのフーリエ変換をそれぞれ $\hat{f}(\xi)$ および $\hat{g}(\xi)$ で表す。さらに ƒ と g との畳み込みが存在して絶対可積分であるならば、この畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換 $\hat{f}(\xi)$ と g^{^}(ξ) との積で与えられる（ただし、フーリエ変換の定義の仕方によっては定数因子が現れる場合もある）。

これを式で表せば、∗ を畳み込みとして

$h(x) = (f*g)(x) = \int_{-\infty}^\infty f(y)g(x - y)\,dy$

と表されるとき、

$\hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi)\cdot \hat{g}(\xi)$

が成立することを意味する。線型時不変 (LTI) 系理論において、f(x) を単位インパルスで置き換えたものが h(x) = g(x) を与えることから、通例 g(x) は、入力 ƒ(x) と出力 h(x) に関する LTI 系のインパルス応答として解釈される。この場合、g^{^}(ξ) はこの系の周波数応答を表す。

逆に、ƒ(x) がふたつの自乗可積分函数 p(x) および q(x) の積に分解されるならば、 ƒ(x) のフーリエ変換は、各因子のフーリエ変換 p^{^}(ξ) および q^{^}(ξ) の畳み込みで与えられる。

[編集] 相互相関定理

詳細は「相互相関」を参照

同様の方法で、h(x) が ƒ(x) と g(x) との相互相関

$h(x)=(f\star g)(x) = \int_{-\infty}^\infty \overline{f(y)}\,g(x+y)\,dy$

であるならば h(x) のフーリエ変換が

$\hat{h}(\xi) = \overline{f^{\wedge}(\xi)}\,\hat{g}(\xi)$

で与えられることが示される。

[編集] 固有函数

L²(R) の正規直交基底の重要な一つはエルミート函数系

${\psi}_n(x) = \frac{2^{1/4}}{\sqrt{n!}} \, e^{-\pi x^2}H_n(2x\sqrt{\pi})$

で与えられる。ここで H_n(x) は「確率論者の」エルミート多項式と呼ばれる、H_n(x) = (−1)ⁿ exp(x²/2) Dⁿexp(−x²/2) で定義される函数である。この規約の下、フーリエ変換は

$\hat\psi_n(\xi) = (-i)^n {\psi}_n(\xi)$

で与えられる。言い換えれば、エルミート函数系は L²(R) 上のフーリエ変換の固有ベクトルからなる完全正規直交系を成す (Pinsky 2002)。しかしながら、この固有函数系の選び方は一意ではなく、フーリエ変換の相異なる固有値は {±1, ±i} の 4 つしかなく、同じ固有値に属する固有函数の任意の線型結合はふたたび固有函数になる。この結果として L²(R) を 4 つの空間 H₀, H₁, H₂, H₃ で、フーリエ変換が H_k 上で単に i^k-倍として作用するものの直和に分解することができる。この方法によるフーリエ変換の定義はウィーナーによる (Duoandikoetxea 2001)。エルミート函数を選ぶのが便利なのは、それらが周波数域と時間域の両方で指数函数的に局在することと、それゆえに時間周波数解析において用いられる非整数次フーリエ変換が得られることにある ^[要出典]。

[編集] 球面調和函数

${\mathcal A}_k$ で次数 k の斉次調和多項式全体の成す集合を表す。集合 ${\mathcal A}_k$ は体球面調和函数系 (solid spherical harmonics) として知られる。高次元において体球面調和函数系はエルミート多項式と同様の役割を演じる。具体的には、 ${\mathcal A}_k$ の適当な P(x) に対し、f(x) = e^−π|x|²P(x) のフーリエ変換は

$\hat{f}(\xi)=i^{-k}f(\xi)$

で与えられる。集合 ${\mathcal H}_k$ を f(|x|)P(x) (P(x) ∈ ${\mathcal A}_k$ ) の形の函数から作られる線型結合全体の成す集合の L²(Rⁿ) における閉包とする。このとき、空間 L²(Rⁿ) は空間 ${\mathcal H}_k$ の直和に分解され、フーリエ変換は各空間 ${\mathcal H}_k$ をそれ自身に移す。また、各空間 ${\mathcal H}_k$ へのフーリエ変換の作用を特徴付けることができる (Stein & Weiss 1971)。ƒ(x) = ƒ₀(|x|)P(x) (P(x) ∈ ${\mathcal A}_k$ ) と表される函数のフーリエ変換は

$\hat{f}(\xi)=F_0(|\xi|)P(\xi)$

となる。ただし、

$F_0(r)=2\pi i^{-k}r^{-(n+2k-2)/2}\int_0^\infty f_0(s)J_{(n+2k-2)/2}(2\pi rs)s^{(n+2k)/2}\,ds$

であり、J_{(n + 2k − 2)/2} は次数 (n + 2k − 2)/2 の第一種ベッセル函数である。k = 0 のとき、これは動径函数のフーリエ変換に対する有用な公式を与える (Grafakos 2004)。

[編集] 応用

特に電気電子情報工学系では通例、 $t$ を時間、 $ω$ を複素角周波数、 $j$ を虚数単位として

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$
$f(t) = {1 \over {2\pi} } \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$

と書く。ここで $F (ω)$ は複素数であり、極形式 $A (ω) e j φ(ω)$ で表したとき、 $A (ω)$ を振幅スペクトル、 $φ(ω)$ を位相スペクトル、 $A (ω) 2$ を電力スペクトル（パワースペクトル）と呼ぶ。通常我々が単純に周波数特性と呼ぶときは、電力スペクトルを対数表示したものを指すことが多い。

なお、理論上フーリエ係数を求めるには無限の区間に渡って積分を行わなければならないが、実験値等からフーリエ係数を求めるには範囲を区切らなければならない。そのために、ある範囲の実験値のフーリエ係数を求めるには、このある範囲の実験値が周期的に無限に繰り返されていると仮定して計算するのが一般的である。だがここで問題なのは、ある範囲の最初の値と最後の値を無理やりつなげることによって発生する不連続な要素である。これを解決するため、中央が1付近の値でその範囲外で急速に0に収束する関数を掛けて、不連続な要素を極力排除することが行われる。このとき、この掛け合わせる関数を窓関数という。

波には色々な周期の波が混ざっていることが多い。例えば音声は色々な周期（高さ）の音の混合である。それを、どの周波数の波がどのくらいの割合で混ざっているかを調べるのに、フーリエ変換する。そうすると、例えば「50Hzが12の強さ、347Hzが45の強さで混じった音」などということが分かる。この12や45はその周波数成分がどの程度含まれているかという相対的な値であり、単位を持たない。

これを応用した「スペクトラム・アナライザー」は、通信機やオーディオ機器の周波数応答特性の測定や調整などに使われるほか、今や高級オーディオ機器の定番装備となっている（「高音・中音・低音などいくつかの音域にごとに分かれて上下する棒」など）。

関東地震の69年周期説も、考案者が（戦後すぐなので手作業で）地震発生期間をフーリエ変換した時の、卓越周期として出てきたものである。

[編集] フーリエ変換表

いくつかの重要なフーリエ変換表を以下に示す。 $G$ と $H$ は $g (t)$ と $h (t)$ のフーリエ変換を示す。 $g$ と $h$ は積分可能もしくは連続している関数であることに注意。

[編集] 関数関連

	入力	フーリエ変換角周波数表記	フーリエ変換通常表記	注
	$g(t)\!\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,$	$G(\omega)\!\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,$	$G(f)\!\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,$
1	$a\cdot g(t) + b\cdot h(t)\,$	$a\cdot G(\omega) + b\cdot H(\omega)\,$	$a\cdot G(f) + b\cdot H(f)\,$	線形性。
2	$g(t - a)\,$	$e^{- i a \omega} G(\omega)\,$	$e^{- i 2\pi a f} G(f)\,$	時間領域のシフト。
3	$e^{ iat} g(t)\,$	$G(\omega - a)\,$	$G \left(f - \frac{a}{2\pi}\right)\,$	角周波数領域のシフト。2と同等。
4	$g(a t)\,$	$\frac{1}{\|a\|} G \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$	$\frac{1}{\|a\|} G \left( \frac{f}{a} \right)\,$	もし $\|a\|\,$ が十分に大きい場合、 $g(a t)\,$ は0の近傍に圧縮され、 $\frac{1}{\|a\|}G \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$ は平たくなる. $\| a \|$ が無限になるとデルタ関数 $δ(t)$ となる。
5	$G(t)\,$	$g(-\omega)\,$	$g(-f)\,$	$ω$ を $t$ に書き換えてもフーリエ変換は成り立つ。
6	$\frac{d^n g(t)}{dt^n}\,$	$(i\omega)^n G(\omega)\,$	$(i 2\pi f)^n G(f)\,$	フーリエ変換の積分特性。
7	$t^n g(t)\,$	$i^n \frac{d^n G(\omega)}{d\omega^n}\,$	$\left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n G(f)}{df^n}\,$	6と同じ。
8	$(g * h)(t)\,$	$\sqrt{2\pi} G(\omega) H(\omega)\,$	$G(f) H(f)\,$	$g * h\,$ は $g\,$ と $h\,$ のコンボリューションである。コンボリューション定理。
9	$g(t) h(t)\,$	$(G * H)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\,$	$(G * H)(f)\,$	8と同じ。

[編集] 二乗可積分関数

	入力	フーリエ変換角周波数表記	フーリエ変換通常表記	注
	$g(t)\!\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,$	$G(\omega)\!\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,$	$G(f)\!\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,$
10	$\mathrm{rect}(a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{f}{a}\right)$	$\mathrm{rect}(a t) \,$ は矩形関数、 $sinc$ はsinc関数である。
11	$\mathrm{sinc}(a t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{f}{a} \right)\,$	10と同じ。,矩形波は理想的なローパスフィルタであり、sinc関数はインパルス応答のフィルターである。
12	$\mathrm{sinc}^2 (a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{f}{a} \right)$	triは三角形関数である。
13	$\mathrm{tri} (a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$	$\frac{1}{\|a\|}\cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{f}{a} \right) \,$	12と同じ。
14	$e^{-\alpha t^2}\,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}$	$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{\alpha}}$	$exp( - α t 2)$ はガウス関数である。積分可能にするため $Re(α) > 0$ 。
15	$e^{iat^2} = \left. e^{-\alpha t^2}\right\|_{\alpha = -i a} \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\omega^2}{4 a} -\frac{\pi}{4}\right)}$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\pi^2 f^2}{a} -\frac{\pi}{4}\right)}$	光学で広く使われている。
16	$\cos ( a t^2 ) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$
17	$\sin ( a t^2 ) \,$	$\frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$	$- \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$
18	$\mathrm{e}^{-a\|t\|} \,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}$	$\frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 f^2}$	a>0。
19	$\frac{1}{\sqrt{\|t\|}} \,$	$\frac{1}{\sqrt{\|\omega\|}}$	$\frac{1}{\sqrt{\|f\|}}$	関数自身の変換である。
20	$J_0 (t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$	$\frac{2\cdot \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}}$	J₀(t)は0のベッセル関数である。
21	$J_n (t) \,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$	$\frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi f) \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}}$	T_n (t) はチェビシェフの多項式である。
22	$\frac{J_n (t)}{t} \,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)$	$\frac{2 \mathrm{i}}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi f)\,$ $\cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2} \mathrm{rect} ( \pi f )$	U_n (t)はチェビシェフの多項式である。

[編集] 分布

	入力	フーリエ変換角周波数表記	フーリエ変換通常表記	注
	$g(t)\!\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,$	$G(\omega)\!\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,$	$G(f)\!\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,$
23	$1\,$	$\sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)\,$	$\delta(f)\,$	$δ(ω)$ はディラックのデルタ（デルタ関数）。この分布はフーリエ変換の恒久的変換である。
24	$\delta(t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$	$1\,$	23とおなじ。
25	$e^{i a t}\,$	$\sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)\,$	$\delta(f - \frac{a}{2\pi})\,$	これは3と24から得られる。
26	$\cos (a t)\,$	$\sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2}\,$	$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}\,$	これはオイラーの方程式をつかって1と25から得られる（オイラーの方程式）。 $cos(a t) = (e i a t + e - i a t) / 2.$ 。
27	$\sin( at)\,$	$\sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i}\,$	$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}\,$	1と25から得られる。
28	$t^n\,$	$i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,$	$\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)\,$	$n$ は自然数である。 $\displaystyle\delta^{(n)} (\omega)$ はディラックのデルタ（デルタ関数）の $n$ 階の導関数である。これは7と24から得られる。
29	$\frac{1}{t}\,$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,$	$-i\pi\cdot \sgn(f)\,$	$sgn(ω)$ はsign関数である。7と24から得られる。
30	$\frac{1}{t^n}\,$	$-i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(\omega)\,$	$-i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(f)\,$	29から得られる。
31	$\sgn(t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega }\,$	$\frac{1}{i\pi f}\,$	29と同等。
32	$u(t) \,$	$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)\,$	$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right)\,$	$u (t)$ はヘヴィサイドの階段関数である。1と31と使用。
33	$e^{- a t} u(t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}$	$\frac{1}{a + i 2 \pi f}$	$u (t)$ はヘヴィサイドの階段関数である。 $a > 0$ 。
34	$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \,$	$\begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right)\,$	$\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) \,$	くし型関数。連続時間から離散時間に変換するのに有用である。

$f (t)$	$F (ω)$
$δ(t)$	1
$u (t)$	$\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$

[編集] 一般化

[編集] 高次元化

n 次元ユークリッド空間で可積分関数 f(x), g(ξ) を考える。この時、

$(\mathfrak{F}f)(\xi) = \hat{f}(\xi) := \int_{\mathbb{R}^n}f(x)e^{-2\pi i x \cdot \xi}\,dx$

（· は Rⁿ の標準内積）を f のフーリエ変換といい、

$(\mathfrak{F}^*g)(x) = \check{g}(x) := \int_{\mathbb{R}^n} g(\xi)e^{2\pi i x \cdot \xi}\,d\xi$

を g の逆フーリエ変換（フーリエ逆変換）または共役フーリエ変換という。また、この変換によって引き起こされる写像

$\mathfrak{F} \colon L^1(\mathbb{R}^n) \to L^1(\mathbb{R}^n),$
$\mathfrak{F}^*\colon L^1(\mathbb{R}^n) \to L^1(\mathbb{R}^n),$

のこともそれぞれ、フーリエ変換、逆フーリエ変換と呼ぶ。

係数は積分の外に出されることもあるし、いくつかの流儀が存在するが、いずれも勝手な実数 a, b をあたえるとき、

$(\mathfrak{F}f)(\xi) = \sqrt{\frac{|b|}{(2 \pi)^{1-a}}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i b \xi x} dx$
$(\mathfrak{F}^*F)(x) = \sqrt{\frac{|b|}{(2 \pi)^{1+a}}} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\xi) e^{i b \xi x} d\xi$

の形に表される。これを係数が (a, b) 型のフーリエ変換・逆変換という。これは順変換と逆変換がちょうど逆になるようにするためである。(0,2π), (0,−1), (−1,−1), (1,1) などがよく用いられる。(a, b) 型のフーリエ逆変換はちょうど (−a, −b) 型のフーリエ変換である。

$\exp {\sum_{k=1}^n {\log ({\log_{a_k} a_{k+1}})}}=\log_{a_1}a_{n+1}$ $\lim_{n \to \infty}{\sum_{m=0}^n \frac{{}_n\!\mathrm{C}_m}{(en)^m}}$

[編集] 抽象化

フーリエ変換に現れる積分因子 $e - 2π i x ξ$ は加法に関する局所コンパクト群 R の C における既約指標 $\chi_\xi\colon x \mapsto e^{-2\pi i x\xi}$ であり、R の既約指標はこのようなものに限る。一般に、局所コンパクトな位相群 G のハール測度 μ を一つ固定すると、G 上の複素数値関数 f に対して G 上の線型汎関数 fdμ

$fd\mu: h \mapsto \int_G \overline{h(g)}f(g)d\mu(g)$

が定まる。このとき、G の指標群 G^{^} について、

$\hat{f}(\chi) := \int_G \overline{\chi(g)}f(g)d\mu(g)\quad(\chi \in \hat{G})$

と置いて得られる G^{^} 上の関数 $\hat{f}$ を f のフーリエ変換という。この変換により、convolution algebra としての G 上の関数の環から G^{^} が通常の積と和に関して作る環への準同型写像が得られる：

$\mathfrak{F}\colon \mathcal{H}(G) \to \mathcal{H}(\hat{G});\, f \mapsto \hat{f}.$

R 上の周期関数 f は円周 S¹ または R/Zの上の関数とみなすことができる。このコンパクト位相群のポントリャーギン双対は整数のなす離散群 Zである。したがって、周期関数にたいしてフーリエ変換を適用すれば整数によって番号づけられる数列がフーリエ級数として表れる。

最後に、G = R のとき、R 上の汎関数

$h \mapsto \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,dx$

を考えると、

$\hat{f}(\chi_\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi i x\xi}f(x)dx$

となって、これを ξ の関数と見れば冒頭の定義となる（次元が上がれば、その指標は1次元の時の指標を次元の数だけ積にしたもので得られる）。

[編集] 関連項目

[編集] 参考文献

A.N. コルモゴロフ・S.V. フォミーン『函数解析の基礎』下、山崎三郎・柴岡泰光訳、岩波書店、1979年。ISBN 4000051679。
Yosida, Kosaku (1968). Functional Analysis. Springer-Verlag. ISBN 3-540-58654-7.
Bochner S.,Chandrasekharan K. (1949). Fourier Transforms. Princeton University Press.
Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd版), Boston: McGraw-Hill .
Campbell, George; Foster, Ronald (1948), Fourier Integrals for Practical Applications, New York: D. Van Nostrand Company, Inc. .
Duoandikoetxea, Javier (2001), Fourier Analysis, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2172-5 .
Dym, H; McKean, H (1985), Fourier Series and Integrals, Academic Press, ISBN 978-0122264511 .
Erdélyi, Arthur, ed. (1954), Tables of Integral Transforms, 1, New Your: McGraw-Hill
Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Prentice-Hall, ISBN 0-13-035399-X .
Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volume 1, Springer-Verlag, ISBN 978-3540006626 .
James, J.F. (2002), A Student's Guide to Fourier Transforms (2nd版), New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-00428-4 .
Kaiser, Gerald (1994), A Friendly Guide to Wavelets, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3711-7
Kammler, David (2000), A First Course in Fourier Analysis, Prentice Hall, ISBN 0-13-578782-3
Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4
Pinsky, Mark (2002), Introduction to Fourier Analysis and Wavelets, Brooks/Cole, ISBN 0-534-37660-6
Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998), Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press, ISBN 0-8493-2876-4 .
Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis (Third版), Singapore: McGraw-Hill, ISBN 0-07-100276-6 .
Stein, Elias; Shakarchi, Rami (2003), Fourier Analysis: An introduction, Princeton University Press, ISBN 0-691-11384-X .
Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 .
Wilson, R. G. (1995), Fourier Series and Optical Transform Techniques in Contemporary Optics, New York: Wiley, ISBN 0471303577 .

[編集] 外部リンク

Eric W. Weisstein. Fourier Transform, MathWorld.（英語）
http://www.nicovideo.jp/watch/sm6280081 （MIDIだけで音声を再現）

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最終更新 2009年11月23日 (月) 03:48 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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