プランク単位系

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プランク単位系（プランクたんいけい）は、マックス・プランクによって提唱された単位系である。

プランク単位系は、基本的な物理定数のみに基づいて定義される自然単位系の一つで、プランク単位系では以下の物理定数の値を 1 としている。

定数	記号	次元
真空中の光速度	${ c } \$	L T^-1
万有引力定数	${ G } \$	M^-1L³T^-2
ディラック定数（換算プランク定数ともいう）	$\hbar=\frac{h}{2 \pi}$ （ ${h} \$ はプランク定数）	ML²T^-1
クーロン力定数	$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ （ ${ \epsilon_0 } \$ は真空中の誘電率）	Q^-2 M L³ T^-2
ボルツマン定数	${ k } \$	ML²T^-2Θ^-1

プランク単位系は物理学者によって「神の単位」と半ばユーモラスに言及される。自然単位系は人間中心的な自由裁量が除かれた単位系であり、一部の物理学者は地球外の知的生命体も同じ単位系を使用しているに違いないと信じている。

プランク単位系は、物理学者が問題を再構成するのに役立つ。

プランク単位系を使用すると変換定数が不要になるため、下記のように多くの物理学の方程式が単純化されるという利点がある。そのため、プランク単位系は特に量子重力の分野でよく使われる。

方程式の名称	一般の単位系	プランク単位系
ニュートンの万有引力の法則	$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$	$F = \frac{m_1 m_2}{r^2}$
シュレーディンガー方程式	$- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$	$- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$
角周波数 ${ \omega } \$ の素粒子や光子が持つエネルギー	${ E = \hbar \omega } \$	${ E = \omega } \$
アインシュタインの質量とエネルギーの方程式	${ E = m c^2} \$	${ E = m } \$
アインシュタイン方程式	${ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \$	${ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \$
熱の運動エネルギー	${ E = \frac{1}{2} k T } \$	${ E = \frac{1}{2} T } \$
クーロンの法則	$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$	$F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$
マクスウェルの方程式	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\rho$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \$ $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$ $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$	$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \$ $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \$ $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$ $\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$ (クーロン力定数に $1/(4 \pi \epsilon_0) \$ ではなく正規化された $\epsilon_0 \$ を使うと、 $4 \pi \$ も取り除くことができる)

[編集] 基本プランク単位

上述の5つの数値を 1 とすることで、時間・長さ・質量・電荷・温度の5つの基本単位が定義される。

名称	次元	Expression	SI単位でのおよその値
プランク時間	時間 (T)	$t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}$	5.39121 × 10^-44 s
プランク長	長さ (L)	$l_P = c \ t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}$	1.61624 × 10^-35 m
プランク質量	質量 (M)	$m_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}$	2.17645 × 10^-8 kg
プランク電荷	電荷 (Q)	$q_P = \sqrt{\hbar c 4 \pi \epsilon_0}$	1.8755459 × 10^-18 C
プランク温度	温度 (Θ)	$T_P = \frac{m_P c^2}{k} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G k^2}}$	1.41679 × 10³² K

従って、5つの物理定数はこれらの基本プランク単位により以下のように書き表すことができる。

$c = \frac{l_P}{t_P} \$

$\hbar = \frac{m_P l^2_P}{t_P} \$

$G = \frac{l^3_P}{m_P t^2_P} \$

$\epsilon_0 = \frac{q^2_P t^2_P}{4 \pi m_P l^3_P} \$

$k = \frac{m_P l^2_P}{t^2_P T_P} \$

[編集] 派生プランク単位

他の単位系と同様に、以下の物理量の単位は基本プランク単位に基づいて定義される。

名称	次元	Expression	Approx. SI equivalent measure
プランクエネルギー	エネルギー (ML²T^-2)	$E_P = m_P c^2 = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}}$	1.9561 × 10⁹ J
プランク力	力 (MLT^-2)	$F_P = \frac{E_P}{l_P} = \frac{c^4}{G}$	1.21027 × 10⁴⁴ N
プランク仕事率(?)	仕事率 (ML²T^-3)	$P_P = \frac{E_P}{t_P} = \frac{c^5}{G}$	3.62831 × 10⁵² W
プランク密度	密度 (ML^-3)	$\rho_P = \frac{m_P}{l_P^3} = \frac{c^5}{\hbar G^2}$	5.15500 × 10⁹⁶ kg/m³
プランク角周波数	周波数 (T^-1)	$\omega_P = \frac{1}{t_P} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}$	1.85487 × 10⁴³ rad/s
プランク圧力	圧力 (ML^-1T^-2)	$p_P = \frac{F_P}{l_P^2} =\frac{c^7}{\hbar G^2}$	4.63309 × 10¹¹³ Pa
プランク電流	電流 (QT^-1)	$I_P = \frac{q_P}{t_P} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \epsilon_0}{G}}$	3.4789 × 10²⁵ A
プランク電圧	電圧 (ML²T^-2Q^-1)	$V_P = \frac{E_P}{q_P} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \epsilon_0} }$	1.04295 × 10²⁷ V
プランクインピーダンス	電気抵抗 (ML²T^-1Q^-2)	$Z_P = \frac{V_P}{I_P} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi}$	2.99792458 × 10¹ Ω