回転 (数学)

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三次元ベクトル解析において、ベクトル場の回転（かいてん; 独:Rotation, 英:curl, 仏:rotationnel）とは、各点の周りで場が回転しようとする傾向を記述する微分ベクトル場のことである。これは、あるベクトル場にしたがって運動する物体がどのようにその運動の向きを変えていくかという目安を表していると考えることができる。

目次

[編集] 定義

三次元直交座標系において、ベクトル場 A = (Ax, Ay, Az) から導かれる次のベクトル場、

\left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} }, {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} }, {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right)

を A の回転といい、rot A あるいは curl A と表す。すなわち、i, j, k を、それぞれ x, y, z 方向の単位ベクトルとすれば、

\mathrm{rot}\,\mathbf{A} = \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} } \right) \mathbf{i} + \left( {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} } \right) \mathbf{j} + \left( {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \mathbf{k}

である。これは、

\mathrm{rot}\,\mathbf{A} = abla \times \mathbf{A}

とも表現される（ここで、"×" は外積、∇ は偏微分作用素のナブラである）。また、行列式を用いて

{\rm rot\,}\mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[5pt] \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\[12pt] A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}

とも表せる。

三次元の他の座標系(例えば極座標など)では、ナブラがベクトルとして書けず、外積の形で定義できない。 一般の座標系で表すには座標変換などの煩雑な作業が必要となる。

より一般的な定義としては、ストークスの定理から、

({\rm rot\,}\mathbf{A})_n = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\oint_{\Delta C} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{l}}{\Delta S}

[編集] 導出

ベクトル場 A = (Ax, Ay, Az) の影響を受けて運動する剛体を考える。この剛体が点 p = (xp, yp, zp) において受ける回転力を、x, y, z の各方向にわけて求める。

まず、x 方向に受ける回転力を求める。点 p のごく近くで剛体が受ける力を考えるので、剛体は平面 x = xp 上の小さな四辺形 PQRS

P = (xp, yp, zp)
Q = (xp, yp + Δy, zp)
R = (xp, yp, zp + Δz)
S = (xp, yp + Δy, zp + Δz)

このとき、剛体が y 方向にうける場の力を考えると、P において

Ay(xp,yp,zp)

の力を受け、R においては一次近似を施すと

A_y(x_p,y_p,z_p) + \Delta z \frac{\partial A_y}{\partial z}(x_p,y_p,z_p)

の力を受けるのだから、PR 間で

\Delta z \frac{\partial A_y}{\partial z}(x_p,y_p,z_p)

の力のずれが生じており、これが x 軸に対して左ねじ（時計回り）の回転力として働く。同様に z 方向の力は PQ 間で

\Delta y \frac{\partial A_z}{\partial y}(x_p,y_p,z_p)

のずれを生じ、x 軸に対して右ねじに働く。ゆえに点 p における x 軸周りの回転力は (Δy, Δz) → (0, 0) として

\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}

となる。

同様の考察を各方向で行えば、冒頭の定義を得る。

(↑fix me)

[編集] ベクトルポテンシャル

二つのベクトル場 A, B に次のような関係

\mathbf{B} = abla \times \mathbf{A}

が存在する時、ベクトル場 A をベクトル場 B のベクトルポテンシャルと言う。この時、

\mathrm{div}\,\mathbf{B} = abla \cdot \mathbf{B} = abla \cdot ( abla \times \mathbf{A}) = 0

となる。ベクトル場 B は特に何であるか断っていないが、これが磁束密度の時は磁場に対するベクトルポテンシャルとなる（→アハロノフ＝ボーム効果）。

[編集] 性質

ベクトル場 F がスカラーポテンシャル ψ を持つなら、

\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = abla \times \mathbf{F} = - abla \times abla \psi = 0 \qquad ( abla \times abla = 0)

となる。

[編集] 関連項目

"http://wkp.fresheye.com/wikipedia/%E5%9B%9E%E8%BB%A2_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" より作成
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最終更新 2009年5月19日 (火) 15:53 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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