ベルトランの仮説

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ベルトランの仮説とは、n が 1 より大きい整数であれば n < p < 2n なる素数 p が存在する、というフランスの数学者ベルトランが1845年に発表した命題。ベルトラン自身はこの命題をn が3 × 10⁶ 以下の場合に検証し、一般の場合についての予想として提出した。この命題は実際には1850年にチェビシェフによって証明されており、現在ではベルトラン＝チェビシェフの定理、(数論に於ける）チェビシェフの定理とも呼ばれている。

さらにポール・エルデシュはこの命題の一般化として、いかなる自然数k についてもある自然数Nが存在して、nが N より大きな自然数ならば n と 2n のあいだに 素数が少なくとも　k 個ふくまれていることを証明した。　

素数定理によってnが十分大きいときには n と 2n のあいだの素数の数は n / log n に近いことが言え、とくにベルトランの仮説によって保証されている一つの素数の存在よりもより強く、もっとたくさんの素数が n と2n のあいだに存在していることがわかる。しかしここで素数定理をベルトランの仮説の証明に用いるためには、 n と 2n のあいだの実際の素数の数が n / log n からどれだけずれているのかを評価しなければならない。この評価をえることは可能だが、証明は入り組んだものになるし、チェビシェフによるベルトランの仮説の証明は素数定理の証明よりも前にえられていた。

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