ポテンシャル

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ポテンシャル（potential）は、直訳すると「潜在性」を意味する物理用語。

最初にポテンシャル（スカラーポテンシャル）の考え方を導入したのは、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュである（1773年）。ラグランジュの段階ではポテンシャルとは言われておらず、これをポテンシャルと呼んだのは、ジョージ・グリーンである（1828年）。カール・フリードリヒ・ガウス、ウィリアム・トムソン、ペーター・グスタフ・ディリクレによってポテンシャル論における三つの基本問題として、ディリクレ問題、ノイマン問題、斜交微分の問題が注目されるようになった。

[編集] ポテンシャル（狭義）

空間内において、空間内の各点に働く力（Fとする）が、当該点上のある定まった量Vから、

$\mathbf{F} = - \nabla V ( = - \mathrm{grad} V)$

として求まる時、Vを力Fのポテンシャルと言う（gradは勾配）。上式の関係より、Vは勾配におけるスカラーポテンシャルである。なお、 $\nabla$ はナブラを参照。

一つの質点を考え、これが力Fの作用する場（力場）にあり、当該質点がdl(dx,dy,dz)だけ変位した時、その力のなした仕事dWは（以下、直交座標系を考える）、

$dW = \mathbf{F} \cdot d \mathbf{l} = F_x dx + F_y dy + F_z dz$

となる。(F_x, F_y, F_z)は力Fの各座標成分。ポテンシャルに関して、

$F_x = - { \partial V \over {\partial x} } , \quad F_y = - { \partial V \over {\partial y} }, \quad F_z = - { \partial V \over {\partial z} }$

と表現できるなら、

$dW = - { \partial V \over {\partial x} } dx - { \partial V \over {\partial y} } dy - { \partial V \over {\partial z} } dz = - dV$

となる。

[編集] 保存力

先のdW = - dVの関係から、力の作用する範囲内（力場内）で質点が、位置Aから位置Bへ運動する間になす仕事W_A-Bは、

$W_{A-B} \, = V_A - V_B$

となる。V_Aは位置Aでのポテンシャル、V_Bは位置Bでのポテンシャルである。この結果は、質点の動いた経路に依らない。このように、どのような経路を通るかに関わらず、なした仕事がどの経路でも等しい場合、この時に質点に働く力を保存力（conservative force）と言う。また、保存力のみが作用する場（力場）を保存力場と言う。また保存力では、質点が位置Aから出発して位置Aに戻る経路（閉じた経路）の場合、質点のなした仕事は、途中の通った道筋に関係なくゼロとなる。

このように（スカラー）ポテンシャルによる力は保存力となる。また、逆に保存力は必ずポテンシャルを伴うことが言える。

[編集] ベクトルポテンシャル

詳細は「回転 (数学)#ベクトルポテンシャル」を参照

[編集] ポテンシャルエネルギー

最初の式、F=-∇Vの式で、Fは力なので、これに関しての質量mの質点（簡単のため一質点を想定）を考え、それの運動方程式から、

$\mathbf{F} = m {d^2 \mathbf{r} \over {dt^2}} = - \nabla V$

となる。 $\, d^2 \mathbf{r} / dt^2$ は質点の加速度である。上式の真中と右辺に着目、この2辺にそれぞれdr/dtをかけ、時間tで積分すると次の式を得る。

${1 \over 2} m \left( {d \mathbf{r} \over {dt}} \right)^2 + V(\mathbf{r}) = \mathrm{constant}$

これは、

${ d \over {dt}} \left( {d \mathbf{r} \over {dt} } \right)^2 = 2 {d \mathbf{r} \over {dt}} \cdot {d^2 \mathbf{r} \over {dt^2}}$

及び、

${d \over {dt}} V (\mathbf{r}) = {d \mathbf{r} \over {dt}} \cdot {\partial V(\mathbf{r}) \over {\partial \mathbf{r}} }$

から求められる。constantは時間tに関しての積分から出てくる定数である。これは積分して得られた式の左辺において、第一項が運動エネルギーであり、それと第二項のV(r)との和が一定であることを意味し、この場合、V(r)のことをポテンシャルエネルギー（位置エネルギー）と呼ぶ。これは形式上、ポテンシャルと同じ形だが、この時のV(r)のrは質点の位置であり、r=r(t)である。

[編集] その他のポテンシャル

水ポテンシャル
熱力学ポテンシャル
化学ポテンシャル

[編集] 参考文献

日本数学会『岩波数学辞典（第3版）』岩波書店、1985年。ISBN 4000800167

最終更新 2009年8月26日 (水) 14:09 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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