ラプラス変換

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関数変換

関数解析学において、ラプラス変換（ラプラスへんかん、Laplace transform）とは、積分で定義される関数空間の間の写像（線型作用素）の一種。関数変換。

ラプラス変換の名はピエール＝シモン・ラプラスにちなむ。

ラプラス変換によりある種の微分・積分は積などの代数的な演算に置き換わるため、制御工学などにおいて時間の（とくに超越的な）関数を別の（おもに代数的な）関数に変換することにより、計算の見通しをたてるための便法として用いられる。

[編集] 定義

関数 $f(t)\,$ のラプラス変換とは

$F(s) = \int_{0}^\infty f(t)e^{-st}dt$

で定義される $s \,$ の関数 $F(s) \,$ のことである。右辺の積分はラプラス積分と呼ばれる。

また、 $i \,$ を虚数単位 $c > 0 \,$ として、関数 $F(s) \,$ から元の関数 $f(t) \,$ を計算することを逆ラプラス変換といい、

$f(t) = \lim_{p\to\infty} \frac{1}{2\pi i} \int_{c-ip}^{c+ip} F(s)e^{st}\,ds$

のように定義されている。右辺の積分はブロムウィッチ積分と呼ばれる。これは複素積分となっており、留数を計算することにより逆ラプラス変換を求めることができる。ここで、 $f(t) \,$ を原関数、 $F(s) \,$ を像関数という。

ラプラス変換の他の記述の仕方として、次のようなものもある。

$F(s) = \mathcal{L}[f(t)]$

同様に逆ラプラス変換は、次のようにも記述される。

$f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)]$

また、これらの記号を用いた写像

$\mathcal{L}\colon f \mapsto F$ ,
$\mathcal{L}^{-1}\colon F \mapsto f$

のことも、それぞれラプラス変換、逆ラプラス変換と呼ばれることがある。

[編集] 性質

ラプラス変換と逆ラプラス変換は互いに他の逆変換である。

$\mathcal{L}\mathcal{L}^{-1} = \mathcal{L}^{-1}\mathcal{L} = \mbox{identity}.$

[編集] 線型性

ラプラス変換は線型性を持ち、したがって特に重ね合わせの原理 を用いて計算することが可能である。ラプラス変換が線型性を持つとは、任意の関数 f(t), g(t) に対して

$\mathcal{L}[af(t) + bg(t)] = aF(s) + bG(s)$

が成り立つということである。ただし、a, b は t に関係しない定数。逆ラプラス変換も同様で、

$\mathcal{L}^{-1}[aF(s) + bG(s)] = af(t) + bg(t)$

が成り立つ。したがって、与えられた関数を部分分数分解できるとき、各因子がラプラス変換の表にあるものに合致すれば、その変換が求められる。

[編集] 相似性

a>0のとき、

$\mathcal{L}\left[f(at)\right]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$

が成立する。

[編集] 微分式

時間 t に関する導関数のラプラス変換は多項式の差となって現れる。実際に、一階の導関数をラプラス変換すると以下のように f(0)（元の式に0を代入した値）が現れる。

$\mathcal{L}\left[ \frac{df(t)}{dt} \right] = sF(s) - f(0)$

また、二階導関数の場合は f(0) に加え、t = 0 における微分係数 f '(0) が現れる。

$\mathcal{L}\left[ \frac{d^2f(t)}{dt^2} \right] = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$

これを繰り返すと、一般の n 階の導関数のラプラス変換は以下のようになる。

$\mathcal{L}\left[ \frac{d^nf(t)}{dt^n} \right] = s^nF(s) - \sum_{k=0}^{n-1} s^{n-k-1}f^{(k)}(0)$
$= s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f^{(1)}(0) - s^{n-3}f^{(2)}(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0).$

[編集] 積分式

$\mathcal{L}\left[\int_0^t f(u)du \right] = \frac{1}{s} F(s).$

[編集] 畳み込み

関数の畳み込みはラプラス変換で積（値ごとの積）にうつされる。

$\mathcal{L}[f(t)*g(t)] = F(s)\,G(s).$

これは、H(s) = F(s)G(s) かつ

$F(s) = \mathcal{L}[f(t)],\ G(s) = \mathcal{L}[g(t)]$

ならば

$\mathcal{L}^{-1}[H(s)] = f(t)*g(t)$

と書くこともできる。

[編集] 初期値の定理・最終値の定理

ラプラス変換の原関数の初期値（t = 0での値）や最終値（t → ∞ における極限値）を表す初期値の定理および最終値の定理と呼ばれる公式が以下のような式によって与えられる。

初期値の定理 (initial value theorem): $t$ の関数 $f (t)$ が $t > 0$ で微分可能とするならば、; $f(0)=\lim_{t \rightarrow 0} f(t) = \lim_{s\rightarrow \infty} sF(s)$; が成り立つ。
最終値の定理 (final value theorem): $t$ の関数 $f (t)$ が $t > 0$ で微分可能、かつdf/dt のラプラス変換が $s = 0$ で収束するならば、; $f(\infty)=\lim_{t \rightarrow\infty} f(t) = \lim_{s\rightarrow 0} sF(s)\qquad s \in \Delta_0$; が成り立つ。ただし、 $Δ 0$ は $s = 0$ を含む角領域である。

[編集] 基本法則

原関数 $f(t)\,$	像関数 $F(s)\,$	備考
$af(t)+bg(t)\,$	$aF(s)+bG(s)\,$	線形
$f(\lambda t)\,$	$\frac{1}{\lambda}F\left(\frac{s}{\lambda}\right)$	相似 $(\lambda>0) \,$
$f(t-\lambda)\,$	$e^{-\lambda s}F(s)\,$	移動第1則 $(\lambda>0) \,$
$f(t+\lambda)\,$	$e^{\lambda s}\left\{F(s)-\int_0^{\lambda}e^{-st}f(t)\,dt\right\}\,$	移動第2則 $(\lambda>0) \,$
$e^{\mu t}f(t)\,$	$F(s-\mu)\,$	像の移動
$f^{(n)}(t)\,$	$s^{n}F(s)-f(0)s^{n-1}-f'(0)s^{n-2}-\cdots-f^{(n-2)}(0)s-f^{(n-1)}(0)$	微分
$(-t)^{n}f(t)\,$	$F^{(n)}(s) \,$	像の微分
$\int_0^t \int_0^{\tau_{n-1}}\cdots \int_0^{\tau_1} f(\tau)\,d\tau d\tau_1 \cdots d\tau_{n-1}$	$\frac{1}{s^n}F(s)$	積分
$\frac{f(t)}{t^n}\,$	$\int_s^{\infty}\int_{\sigma_{n-1}}^{\infty}\cdots\int_{\sigma_1}^{\infty}F(\sigma)\,d\sigma d\sigma_1 \cdots d\sigma_{n-1}$	像の積分
$f(t)*g(t) \,$	$F(s)G(s)\,$	合成

[編集] 簡単な変換表

原関数 $f (t)$	像関数 $F (s)$	備考
$δ(t)$	$1$	$δ(t)$ はデルタ関数（インパルス関数）
$H (t)$	$\frac{1}{s}$	$H (t)$ はヘヴィサイドの階段関数（ステップ関数）
$t n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$	n=1はランプ関数とも呼ばれる
$e - a t$	$\frac{1}{s+a}$
$t n e - a t$	$\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}$
$sinω t$	$\frac{\omega}{s^2 +\omega^2}$
$cosω t$	$\frac{s}{s^2 + \omega^2}$
$sinhω t$	$\frac{\omega}{s^2 -\omega^2}$
$coshω t$	$\frac{s}{s^2 -\omega^2}$