ラプラス方程式

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ラプラス方程式（らぷらすほうていしき）は次の式で与えられる 2 階線型の偏微分方程式である。発見者ピエール＝シモン・ラプラスから名づけられた。ラプラス方程式の解は、電磁気学、天文学、流体力学など自然科学の多くの分野で重要である。ラプラス方程式の解についての一般理論はポテンシャル理論という一つの分野となっている。

${\partial^2 \over \partial x^2 }\phi(x,y,z) + {\partial^2 \over \partial y^2 }\phi(x,y,z) + {\partial^2 \over \partial z^2 }\phi(x,y,z) = 0$

この方程式はしばしば以下の様に記述されることもある。

a b l a 2 φ = 0

または

$\Delta \phi \, = 0.$

∇² (= Δ) をラプラシアン（ラプラスの演算子、ラプラス作用素）と言う。なお、∇ についてはナブラを参照。

電荷分布の無い一様な媒質中の静電ポテンシャル，定常的な熱伝導がこの方程式を満足する。

ラプラス方程式の右辺を関数 f(x, y, z) に置き換えた方程式 $Δφ = f$ はポアソン方程式と呼ばれる。

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変数の数は任意有限個に拡張できる。n 変数の関数 φ = φ(x₁, x₂, ..., x_n) に関する偏微分方程式

${\partial^2 \over \partial x_1^2 }\phi + {\partial^2 \over \partial x_2^2 }\phi + \cdots + {\partial^2 \over \partial x_n^2 }\phi = 0$

を一般にラプラス方程式と呼ぶ。同様に微分作用素

$\Delta = {\partial^2 \over \partial x_1^2 } + {\partial^2 \over \partial x_2^2 } + \cdots + {\partial^2 \over \partial x_n^2 }$

をラプラシアンと呼ぶ。ラプラス方程式の解となる関数を調和関数という。

最終更新 2008年9月2日 (火) 12:15 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【ラプラス方程式】変更履歴

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