リュカ数列

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この項目では、一般のリュカ数列について記述しています。フィボナッチ数の同伴数列については「リュカ数」をご覧ください。

リュカ数列（リュカすうれつ）またはルーカス数列（ルーカス数列）(Lucas sequence)とは、二次の整係数方程式 G ( x ) = x ² - P x + Q =0 の二つの解

$\alpha=(P+\sqrt{D})/2, \beta=(P-\sqrt{D})/2, D=P^2-4Q$

に対し、

$U n (P, Q) = (α n - β n) / (α - β), V n (P, Q) = α n + β n$

と定義される数列である。また同じことであるが、

$U 0 (P, Q) = 0, U 1 (P, Q) = 1, U n (P, Q) = P U n - 1 (P, Q) - Q U n - 2 (P, Q) for n > 1,$
$V 0 (P, Q) = 2, V 1 (P, Q) = P, V n (P, Q) = P V n - 1 (P, Q) - Q V n - 2 (P, Q) for n > 1$

という関係式を満たす数列として定義される数列である。

リュカ数列は二階線形回帰数列の一種で、フィボナッチ数、リュカ数、ペル数, メルセンヌ数など数論に現れる重要な数列がこれに属する。

[編集] 用語

U_n , V_n を( P , Q )に伴うリュカ数列という。V_n を同伴リュカ数列と呼ぶこともある。 α/β が1の冪根であるとき U_n , V_n を退化(degenerate)、そうでないとき非退化(non-degenerate)という。

D を割り切らない素数 p が U_n を割り切るが、 U_m ( m < n )を割り切らないとき、 p を U_n の原始約数( 'primitive divisor' )という。

[編集] 例

U_n (1, -1)はフィボナッチ数, V_n (1, -1)は（通常の）リュカ数である。

U_n (3, -2)=2 ⁿ-1, V_n (3, -2)=2 ⁿ+1で、それぞれメルセンヌ数, フェルマー数を含んでいる。

U_n (2, -1), V_n (2, -1)はペル数となる。

[編集] 性質

次のような等式が成り立つ。

$V_n^2-DU_n^2=4Q^n$ ,
$U_n^2-U_{n-1}U_{n+1}=Q^{n-1}$ ,
$D U n = V n + 1 - Q V n - 1$ ,
$V n = U n + 1 - Q U n - 1$ ,
$2 U m + n = U m V n + U n V m$ ,
$2 V m + n = V m V n + D U m U n$ ,
$U 2 n = U n V n$ ,
$V_{2n}=V_n^2-2Q^n$ ,
$U m + n = U m U n - Q n U m - n$ ,
$V m + n = V m V n - Q V m - n = D U m U n + Q n V m - n$ ,
$2^{n-1}U_n={n \choose 1}P^{n-1}+{n \choose 3}P^{n-3}D+\cdots$ ,
$2^{n-1}V_n=P^n+{n \choose 2}P^{n-2}D+{n \choose 4}P^{n-4}D^2+\cdots$ .

また、リュカ数列の整除性について、次のような性質が成り立つ。

$m | n$ ならば、 $U m | U n$ ,
n が m の奇数倍ならば、 $V m | V n$ ,
N が 2 Q と互いに素な整数とする。 $N | U r$ となる最小の r が存在するとき、 $N | U n$ となる n 全体は r の倍数全体と一致する。

P, Q が偶数ならば、 U_n, V_n は U ₁を除いていつも偶数である。
P が偶数で、 Qが奇数ならば、 U_n の偶奇は n の偶奇と一致し、 V_n はいつも偶数である。
P が奇数で、 Qが偶数ならば、 U_n , V_n はいつも奇数である。
P, Q が奇数ならば、 U_n , V_n は n が3の倍数であるとき偶数で、そうでないとき奇数である。

p が奇素数ならば、 $U_p\equiv\left(\frac{D}{p}\right), V_p\equiv P\pmod{p}, \left(\frac{D}{p}\right)$ は平方剰余の記号である。
p が奇素数で、 P , Q を割り切るならば、p は U ₁を除く全ての U_n を割り切る。
p が奇素数で、 P を割り切り Q を割り切らないならば、p が U_n を割り切るのは n が偶数であることと同値である。
p が奇素数で、 P を割り切らず Q を割り切るならば、p は決して U_n を割り切らない。
p が奇素数で、 PQ を割り切らず、 Dを割り切るならば、p が U_n を割り切るのは n が p の倍数であることと同値である。
p を PQD を割り切らない奇素数とし $l=p-\left(\frac{D}{p}\right)$ とおくと、 p は U_l を割り切る。

最後の定理はフェルマーの小定理の一般化である。これと原始約数の定義から、次のことがわかる。

p を PQD を割り切らない奇素数とする、 $l=p-\left(\frac{D}{p}\right)$ とおく。 p が U_n の原始約数ならば n は l を割り切る。特に、 $p\equiv\left(\frac{D}{p}\right)\pmod{n}$ が成り立つ。

リュカ数列の値は少数の例外を除いて原始約数を持つことが知られている。 n > 30ならば、 U_n は原始約数を持つ。また、 n ≤ 30で、 U_n が原始約数を持たないものは全て知られている^[1]。

^ Yuri Bilu, Guillaume Hanrot, Paul M. Voutier, Maurice Mignotte, Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers, J. Reine Angew. Math. 539 (2001), 75--122. Guillaume Hanrot Publication list, 2001(preliminary version).

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最終更新 2009年9月24日 (木) 16:04 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【リュカ数列】変更履歴

[0] Yuri Bilu, Guillaume Hanrot, Paul M. Voutier, Maurice Mignotte, Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers, J. Reine Angew. Math. 539 (2001), 75--122. Guillaume Hanrot Publication list, 2001(preliminary version).

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リュカ数列

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