ルジャンドル多項式

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ルジャンドルの多項式 (るじゃんどるのたこうしき) とは、ルジャンドルの微分方程式における特別な場合 (ν = 0, 1, 2, ...) の解である。その形は ν = n = 0, 1, 2, ... とした場合に以下の様になる。

$P_n(x) \equiv \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} (-1)^k x^{n-2k} \frac{(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}$

またロドリゲスの公式 (Rodrigues's Formula) として以下の形にも表せる。

$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$

さらにルジャンドルの多項式の母関数は次の様になる。

$g(t,x) \equiv \sum_{n=0}^\infty t^n P_n(x) = (1-2tx+t^2)^{-\frac{1}{2}}$

ルジャンドル多項式をもとにして

$P_n^m(\zeta) \equiv (1-\zeta^2)^{\frac{|m|}{2}} \frac{d^{|m|}}{d\zeta^{|m|}} P_n(\zeta)$

で定義される関数をルジャンドル陪関数（るじゃんどるばいかんすう、associated Legendre functions）という。「陪」(associated) は「付き従う、関連する、付属する」というような意味で、ルジャンドル多項式に付属する関数ということである。ルジャンドル陪多項式（-たこうしき、associated Legendre polynomials）と呼ばれることもあるが、ルジャンドル陪関数は一般には多項式でない。この関数は球面調和関数の一部として出てくる。

最終更新 2009年9月29日 (火) 02:47 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【ルジャンドル多項式】変更履歴

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