レムニスケート

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レムニスケート

レムニスケート（lemniscate）は極座標の方程式r² = 2a²cos2θで表される曲線である。連珠形（れんじゅけい）とも呼ばれる。またヤコブ・ベルヌーイのレムニスケートとも呼ばれる。カッシーニの卵形線の一種と見なすことができる。

直交座標の方程式では(x² + y²)² − 2a²(x² − y²) = 0となる。

x軸、y軸に対して線対称である。原点Oで自らと交わる。原点Oにおける接線はy=x,y=-xとなる。原点Oとでx軸と交わる（以下、この二点を「交点」と呼ぶ）。レムニスケート上では、「任意の点と一方の「交点」との距離」と「その任意の点ともう一方の「交点」との距離」の積は一定である。直角双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡はレムニスケートになる。

ループ1つで囲まれる面積はa²であり、2つ合わせて2a²となる。曲線の弧長は楕円積分によって表される。

レムニスケートはベルヌーイ兄弟によって最初に発見され、イタリアの数学者ファニャーノによって楕円積分論の事例として詳しく研究された。オイラーはファニャーノの『数学論文集』に刺激を受け、微分方程式論の研究を発展させ、独自の楕円積分論を構築した。