ローレンツ変換

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ローレンツ変換（ローレンツへんかん、Lorentz transformation）は、2 つの慣性系の間の座標（時間座標と空間座標）を結びつける線形変換で、電磁気学と古典力学間の矛盾を回避するために、アイルランドのジョセフ・ラーマー（1897年）とオランダのヘンドリック・アントーン・ローレンツ（1899年、1904年）により提案された。アルベルト・アインシュタインが特殊相対性理論 (1905年)を構築したときには、慣性系間に許される変換公式として、理論の基礎を形成した。

幾何学的には、ミンコフスキー空間における 2 点間の世界間隔を不変に保つような、原点を中心にした回転変換を表す。

[編集] 概要

ローレンツ変換は、マイケルソン・モーリーの実験結果を矛盾なく説明する手段として提案された。ローレンツは、時間の流れや光速度はすべての基準座標系において同一と考えたため、「大きな速度で動く座標系では、2 点間の距離（物体の長さ）は縮む」というローレンツ収縮を結論した。しかし、ローレンツ収縮は実験結果と矛盾した。後に、アインシュタインは、光速度の不変性と物理法則の相対性（「物理法則はあらゆる慣性系間で同一である」）の 2 つを原理として、特殊相対性理論を築いた。そこでは、ローレンツ変換から帰結される事実として、時間の進み方が観測者によって異なることを結論した。

ローレンツ変換において、慣性系の動く速度 v が、光速度 c に比べて十分小さい場合（v/c → 0 と見做せる場合）を考えると、ローレンツ変換はガリレイ変換を再現する。したがって、非相対論的な極限でガリレイ不変性が成立しているという事実もローレンツ変換で説明できる。（ガリレイ変換は、等速運動をする慣性系間の座標変換であり、ニュートンの運動方程式では満足されるが、マクスウェルの方程式では満足されない古典的な座標変換である）。

ローレンツ変換のうち、空間と時間が関与する方向への変換をローレンツブースト (Lorentz boost) と呼ぶ。特殊相対論が導く、我々の直感に反する事柄のほとんどは、このローレンツブーストからの帰結である。一方で、空間同士が関与する変換はただの空間回転である。

[編集] 数式

ローレンツ変換は、ある慣性系 S における空間および時間座標（あるいは任意の4元ベクトル）を、x-軸に沿った S に対する相対速度 v で移動する別の慣性系 S' へ変換する際に使用される群作用である。原点 (0, 0, 0, 0) を共有する、S における時空座標 (t, x, y, z) と S' における時空座標 (t', x', y', z') で記述される事象の座標系は、以下のローレンツ変換によって関連付けられる。

$t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)$
$x' = \gamma (x - v t)\,$
$y' = y\,$
$z' = z\,$

上式で

$\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

はローレンツ因子と呼ばれ、c は真空中の光速度を表す。

上の四つの方程式は、行列を用いて表現できる。

$\begin{bmatrix} t' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c^2} \gamma&0&0\\ -v \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t\\x\\y\\z \end{bmatrix}$

あるいは、以下の様にも記述できる。

$\begin{bmatrix} c t' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\ -\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t\\x\\y\\z \end{bmatrix}$

最初の式は、v/c → 0 となる極限において、ガリレイ変換に帰着する事を容易に理解できる点で、第 2 の式は、相対論における基本的な不変量である時空間隔 $d s 2 = (c d t) 2 - d x 2 - d y 2 - d z 2$ が保存される事を容易に理解できる点で、それぞれ優れている。

また、パラメータ θ を用いて、

$\frac{v}{c} = \tanh\theta$

とすると、

$ct' = ct \cosh\theta - x \sinh\theta \,$
$x' = x \cosh\theta - ct \sinh\theta \,$

虚時間 w = i ct を用いれば、

$w' = w \cos(i\theta) - x \sin(i\theta) \,$
$x' = x \cos(i\theta) + w \sin(i\theta) \,$

行列を用いれば、それぞれ

$\begin{bmatrix} ct' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cosh\theta&-\sinh\theta&0&0\\ -\sinh\theta&\cosh\theta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct\\x\\y\\z \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} w' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(i\theta)&-\sin(i\theta)&0&0\\ \sin(i\theta)&\cos(i\theta)&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w\\x\\y\\z \end{bmatrix}$

と表すことができる。この表現を用いると、ローレンツ変換がミンコフスキー空間の回転に相当することが容易に理解できる。

この表式では速度の合成が容易になる。慣性系 S において、速度 u で x-軸方向に等速運動している物体は、慣性系 S' における速度 u' は、

$\frac{u}{c} = \tanh\phi$

とすると、

$\frac{u'}{c} = \tanh(\phi - \theta)$

で表される。

相対速度 v の方向が慣性系 S の x-軸方向と一致する場合にのみ、上の方程式は適用される。v の方向が S の x-軸と一致しない場合には、ローレンツ変換の一般解を求めるよりも、v の方向が S の x-軸と一致するように慣性系の回転を行う方が、一般に容易である。

任意の方向へのローレンツブーストに際しては、空間ベクトル x を速度 v と平行な垂直成分に $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_\perp + \boldsymbol{x}_\|$ と分解すると都合が良い。v 方向の成分 $\boldsymbol{x}_\|$ のみが、ローレンツ因子 γ による変形を受ける。

$t' = \gamma \left(t - \frac{v x_\|}{c^{2}} \right)$
$\boldsymbol{x}' = \boldsymbol{x}_\perp + \gamma (\boldsymbol{x}_\| - \boldsymbol{v} t)$

上の方程式は、行列を用いて以下のように表現できる。

$\begin{bmatrix} c t' \\ \boldsymbol{x}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{\boldsymbol{v^T}}{c}\gamma\\ -\frac{\boldsymbol{v}}{c}\gamma&\boldsymbol{I}+\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v^T}}{v^2}(\gamma-1)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t\\\boldsymbol{x} \end{bmatrix}$

ここで、v^T は v の転置行列、I は 3 次単位行列である。

上で注記したように、この変換は 2 つの系で原点が共有されることを要求する。この制約を緩和するローレンツ変換の一般化が、ポアンカレ変換である。

より一般的には、

$g= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$

で T を転置行列とした場合に、Λ^Tg Λ = g である任意の 4×4 行列 Λ による、時空を記述する4元ベクトル X の置換 $X \rightarrow \Lambda X$ は、最も一般的なローレンツ変換である。このように定義された行列 Λ は、ローレンツ群として知られる群 SO(3,1) を構成する。

厳密に言うと、このように定義したローレンツ変換はミンコフスキー空間での回転だけでなく、反転に相当するパリティ変換P、時間反転Tを含む。これらの変換は連続的なローレンツ変換とは別個に扱われる場合が多い。例えば実際の物理は連続的なローレンツ変換に対しては不変だが、パリティ対称性の破れ、CP対称性の破れ（CPT定理よりTの破れと同義）は実験で観測されている。この点を明確にしたい場合、回転のみの部分を本義ローレンツ変換と呼ぶ事がある。

[編集] 図

慣性系 S と慣性系 S' の座標格子を重ねて図示すると、ローレンツ変換とガリレイ変換の違いがイメージできる。ガリレイ変換では時刻が等しい点からなる直線(同時刻線)は両慣性系で一致するが、ローレンツ変換では異なる慣性系の同時刻線は互いに傾いている。これはローレンツ変換では、慣性系 S では同時に起きた事象が慣性系 S' では異なる時刻に起きていることを意味する。これを同時性の崩れという。

座標格子のローレンツ変換

座標格子のガリレイ変換

[編集] 歴史

ローレンツはこの変換がマクスウェル方程式を不変な形で変換することを、1900年に発見した。ローレンツは導光性エーテル仮説を信じており、この変換に適切な基礎を提供する相対性理論を発見したのは、アルベルト・アインシュタインであった。

ローレンツ変換は1904年に初めて発表されたが、当時これらの方程式は不完全であった。フランスの数学者アンリ・ポアンカレが、ローレンツの方程式を、今日知られている整合性の取れた 4 つの方程式に修正した。

[編集] ローレンツ＝フィッツジェラルド収縮

[編集] ローレンツの解釈

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[編集] 相対論的解釈

アインシュタインの解釈によれば、観測者に対して運動する物体は縮んで観測される。

例として、x-軸方向に長さを持つ物体が、観測者 A （xyzw-座標系）に対して x-軸正方向に速度 v で等速直線運動する場合を考える(w = ct)。この物体と共に運動する観測者 B （x'y'z'w'-座標系）にはこの物体の長さが l で観測されるとする(w' = ct')。これは即ち、観測者 B にとって同時刻に観測した時に、物体の端と端の x'-座標の値の差が l であることを示す。

t' = 0 の時、物体の片端が x' = 0、もう一方の端が x' = l にあるとする。この時、物体の軌跡は {(x', w') | 0 ≤ x' ≤ l} となり、右図薄青部である。ここで、 $\beta = \frac{v}{c}, \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$ とおくと、x' = γ(x - βw) であるため、 $0 \le x \le l \iff \beta w \le x \le \beta w + \frac{l}{\gamma}$ となる。即ち、t = 0の時、片端は x = 0 に、もう片端は $x=\frac{l}{\gamma}$ にあるので、観測者 A にとってこの物体の長さは $\frac{l}{\gamma}$ となることが分かる（なお、観測者 A にとって (x, w) = (0, l) となる点は、右図点線である双曲線 x² - w² = l と x-軸の交点であることからもローレンツ収縮の影響がわかる）。