三角数

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三角数（さんかくすう、triangular number）とは多角数で、正三角形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数に合致する自然数である。n番目の三角数は1からnまでの自然数の和に等しい。

[編集] 概要

例えば 10 は一つの辺にものを4つ並べた時に該当するので三角数の一つである。三角数は無数にあり、最小のものは1である。

1		3		6		10

三角数 $10( = 1 + 2 + 3 + 4)$ はピタゴラス（学派）にとって「完全なる数」として特に大事な数とされた。

n番目の三角数を T_n とすると上図より

T₁ = 1 , T_n+1 = T_n + n + 1

が導かれる。よって三角数の式は

$T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k + 1) = \frac{n(n+1)}{2} \quad (n \ge 2)$

これはn=1のときも成り立つ。三角数を小さいものから順に列記すると

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300 … となる。

あらゆる自然数は高々3つの三角数の和で表されるという定理があり、ガウスによって1796年（彼の日誌によれば7月10日）に証明された。この定理は全ての自然数が高々n個のn角数の和によって表されるとするフェルマーの多角数定理の中に含まれている。

連続する三角数の和は

$\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac {n (n+1)}{2} + \frac {(n+1) (n+2)}{2} = \frac {(n+1) (n+(n+2))}{2} = (n+1)^2$

となり、平方数となる。これを灰色の点がn番目の三角数、赤がn+1番目の三角数として表わすと下図のようになる。

16		25

平方数はまた，四角数（しかくすう）ともいわれる。四角数とは、正方形の形にものを並べたときに、そこに並ぶものの総数に合致する数のこと。n番目の四角数は1からn番目までの奇数の和に等しい。

三角数を2倍した数を矩形数（くけいすう）という。矩形数とは、縦と横の列の数が1つだけ違う長方形の形にものを並べた時に、そこに並ぶ総数に合致する数のこと。すなわち，連続する2整数の積である。n番目の矩形数は2からn番目までの偶数の和に等しい。矩形とは長方形のことで、長方形数ということもある。

n番目の四角数 n² とn番目の矩形数 n(n+1) の和は2n番目の三角数 n(2n+1) である。

n番目の三角数は組み合わせの記号を使って $\frac{n (n+1)}{2} = {}_{n+1}{\rm C}_{2}$ 　と表わすこともできる。

全ての偶数の完全数は三角数でもある。

三角数でもあり、平方数でもある数は平方三角数とよばれ、1, 36, 1225 など無数にある。

n番目の三角数の二乗は1からn番目までの立方数の和に等しい。つまり、 $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \sum_{k=1}^n k^3$

三角数は必ず3で割り切れる数か、もしくは9で割ると1余る数のどちらかである。

3n-1 番目の三角数を1/3倍した数は全て五角数であり、2n-1 番目の三角数は全て六角数である。また六角数は全て三角数でもある。

三角数の性質として

T_a+b = T_a + T_b + ab　や　T_ab = T_aT_b + T_a-1T_b-1　といった式があげられる。

回文数の三角数は、55, 66, 666だけであると考えられている。

総当たりのリーグ戦における全試合の回数は、三角数になる。チームの数がn（2以上の自然数）であれば、試合数はn-1番目の三角数である。

また三角数の逆数の和は収束し、その値は

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = 2 \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 2$

となる。

[編集] 三角数の判定

任意の正の整数xが三角数かどうかを判定するためには

$n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}.$

を計算すれば良い。もしnが整数ならば、xはn番目の三角数である。もしnが整数でないならば、xは三角数ではない。

※この式は、n番目の三角数をxとおいて、nについての二次方程式を解くことで得られる。

[編集] 三角数の一般次元への拡張

三角数と同じように、ものを三角錐（四面体）状に配置したとき、その総数を三角錐数（四面体数）という。第 n 三角錐数（四面体数）は、第 1 三角数から第 n 三角数までの総和であるが、その値 N は N = n(n+1)(n+2)/6 と書くことが出来る。また、同様に三角錐数の総和として、4次元空間での三角数、五胞体数を定義することが出来る。以下、一般次元の空間（ここでは r 次元）まで概念の拡張を行ったとき、第 n 番目のその数 T_r(n) は、

$T_r(n) = \prod^{r}_{k=1}\left(1+\frac{n-1}{k}\right) = \frac{n(n+1)\cdots(n+r-1)}{r!} = {}_{n+r-1}{\rm C}_{r}$

と書くことができる。

パスカルの三角形

パスカルの三角形における数列は左にある列から順に:

モナド（単数）の数列　1,1,1,1,1,1,1,1,1,…,1,…
自然数の数列　1,2,3,4,5,6,7,8,9,…, $n C 1$ ,…
三角数の数列　1,3,6,10,15,21,28,36,45,…, $n + 1 C 2$ ,…
三角錐数の数列　1,4,10,20,35,56,84,120,165,…, $n + 2 C 3$ ,…
五胞体数の数列　1,5,15,35,70,126,210,330,495,…, $n + 3 C 4$ ,…

となっている。上にある数列はその一つ下の数列の階差数列である。

[編集] 関連項目

[編集] 外部リンク

[編集] 参考文献

小倉, 金之助『カジョリ初等数学史 (復刻版)』共立出版、東京、1997年。

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最終更新 2009年9月29日 (火) 12:14 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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