三角関数の無限乗積展開

数学において、三角関数と双曲線関数について無限乗積を用いた以下の恒等式が成立する。

$\sin{({\pi}z)}={\pi}z\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}$

$\cos{({\pi}z)}=\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2}\right)}$

$\sinh{({\pi}z)}=\frac{\sin({\pi}iz)}{i}={\pi}z\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1+\frac{z^2}{n^2}\right)}$

$\cosh{({\pi}z)}=\cos({\pi}iz)=\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1+\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2}\right)}$

[編集] 初等的な考察

$sin(π z)$ は複素平面全体で正則(マクローリン展開の収束半径が無限大)であるから無限次の多項式で表される。 $sin(π z)$ の零点は $z={\pm}n$ であるから、 $c$ を定数として

$\sin({\pi}z)=cz\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1+\frac{z}{n}\right)}{\left(1-\frac{z}{n}\right)}=cz\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}$

微分して

$\pi\cos({\pi}z)=c\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}+cz\frac{d}{dz}\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}$

$z = 0$ を代入すれば $c = π$ を得る。同様に

$\cos({\pi}z)=c'\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1+\frac{z}{n-\frac{1}{2}}\right)}{\left(1-\frac{z}{n-\frac{1}{2}}\right)}$

$z = 0$ を代入すれば $c' = 1$ を得る。但し、これは厳密な証明ではない。何故ならば $z\to\infty$ を考慮していないからである。同じ方法で $e z$ の無限乗積展開を求めようとすると失敗するであろう。一般にはワイヤストラスの因数分解定理(Weierstrass factorization theorem)が必要になる。