中心極限定理

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中心極限定理（ちゅうしんきょくげんていり、英: central limit theorem）は、確率論・統計学における極限定理の一つで、次のように表現される。

大数の法則によると、ある母集団から無作為抽出された標本平均はサンプルのサイズを大きくすると真の平均に近づく。これに対し中心極限定理は標本平均と真の平均との誤差を論ずるものである。多くの場合、母集団の分布がどんな分布であっても、その誤差はサンプルのサイズを大きくしたとき近似的に正規分布に従う。

なお、標本の分布に分散が存在しないときには、極限が正規分布と異なる場合もある。

統計学における基本定理であり、例えば世論調査における必要サンプルのサイズの算出等に用いられる。

[編集] 定理

期待値 μ, 分散 σ² の独立同分布 ("i.i.d.") 確率変数 ("r.v.") 列 X₁, X₂, ... に対し、

$S_n := \sum_{k = 1}^n X_k$

とすると、

$P \Big( \frac{ S_n - n \mu }{ \sqrt{n}\sigma } \leqq \alpha \Big) \to \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int_{-\infty }^{\alpha } e^{- \frac{x^2}{2}} dx$

つまり、i.i.d. r.v. 列の和を修正すると、期待値 0, 分散 1 の正規分布 N(0, 1) に分布収束する。

従って、n が十分大きいとき近似的に、標本平均 $[X n]$ と真の平均 μ との誤差 $[X n] - μ$ は，平均 0, 分散 σ²/n の正規分布 N(0, σ²/n) に従う。

最終更新 2009年11月5日 (木) 05:48 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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