二体問題

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二体問題（にたいもんだい、Two-body problem）は、古典力学において互いに相互作用を及ぼす2つの点の動きを扱う問題と定義できる。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星、恒星の周りを回る惑星、共通の重心の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などである。

全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。

[編集] 問題の記述

$\mathbf{x}_{1}$ と $\mathbf{x}_{2}$ を2つの物体の位置、 $m 1$ 、 $m 2$ を2つの物体の質量とすると、二体問題の目的は全ての時間 $t$ に対して軌跡 $\mathbf{x}_{1}(t)$ 及び $\mathbf{x}_{2}(t)$ を確定させることである。

最初の位置を

$\mathbf{x}_{1}(t=0)$ と $\mathbf{x}_{2}(t=0)$ 、

最初の速さを

$\mathbf{v}_{1}(t=0)$ と $\mathbf{v}_{2}(t=0)$

と置くと、運動の第2法則により

$\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot\mathbf{x}_{1} \quad \quad \quad (Equation \ 1)$

$\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot\mathbf{x}_{2} \quad \quad \quad (Equation \ 2)$ と書ける。

ここで、

$\mathbf{F}_{12}$ は質量1が質量2から受ける力であり、

$\mathbf{F}_{21}$ は質量2が質量1から受ける力である。

この連立方程式を加減して、2つの一体問題に帰着させ、解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表わす方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトル $\mathbf{r} \equiv \mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{2}$ の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡 $\mathbf{x}_{1}(t)$ と $\mathbf{x}_{2}(t)$ が記述できる。

[編集] 重心の動き

式1と式2を足すと、

$m_{1}\ddot\mathbf{x}_{1} + m_{2}\ddot\mathbf{x}_{2} = (m_{1} + m_{2})\ddot\mathbf{x}_{cm} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0$

となる。ここで運動の第3法則 $\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}$ を使うと、

$\mathbf{x}_{cm} \equiv \frac{m_{1}\mathbf{x}_{1} + m_{2}\mathbf{x}_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

となり、これは重心の位置を表わす。ここから得られる式

$\ddot\mathbf{x}_{cm} = 0$

は、重心の速度 $\dot\mathbf{x}_{cm}$ と、全運動量 $m_{1}\dot\mathbf{x}_{1} + m_{2}\dot\mathbf{x}_{2}$ が一定であることを意味する。つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。

[編集] 変位ベクトルの動き

上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、

$\ddot \mathbf{r} = \ddot\mathbf{x}_{1} - \ddot\mathbf{x}_{2} = \left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) = \left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}$