二元数

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広義の二元数（にげんすう）は、与えられた数体系 K に対し、K に含まれないもう 1 つの元 ε を与えて、1 とその ε の線型結合 x + yε (x, y ∈ K) として得られる K 上 2 次元の数体系である。二元数における四則演算等について、加法やスカラー倍は自然なものが定められてベクトル空間の構造を持つが、乗法の入れ方にはヴァリエーションがある。

最も典型的な場合として、基礎とする数体系が実数の場合には

$\varepsilon^2 \lesseqqgtr 0$

に従って得られる構造が概ね分類できる。

ε² < 0: complex number 複素数
ε² = 0: dual number (狭義の) 二元数
ε² > 0: split-complex number 分解型複素数

[編集] 狭義の二元数

線形代数において、ε² = 0 (εはべき零) となる要素 ε を付け加えて拡張した実数を、狭義の二元数という (以下、簡単のため、「狭義の」を略す)。二元数の集合は、実数上で 2 次元の、可換な、単位元のある、結合法則を満たす代数をなす。あらゆる二元数は、一意に定まる a と b について z = a + bε と書ける。すべての二元数からなる平面は、ふつうの複素数平面 $\mathbb{C}$ や分解型複素数の平面と対になる。

二元数 z = a + bε にたいして、 a を実部 (じつぶ) という (以下では、 b を非実部とよぶことにする)。二元数 z = a + bε にたいして、 a − bε を z の共役 (きょうやく、conjugate)^[1]といい、z * などと書く。ふつうの複素数と同様、z z * がノルムのようなもの^[2]をあらわすと考えて、a ∈ { 1, −1 } について z = a + bε を、単位円という (z z * = 1 のため)。

[編集] 行列表記

もし行列の和と積になじみのある読者であれば、上記 ε は、

$\epsilon = \begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}$

と書けることがわかるだろう。したがって、任意の二元数は、

$a + b\epsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$

となる。2 つの二元数の和と積は、それぞれ行列の和と積に対応する。演算は両方とも、交換法則、結合法則を満たす。

[編集] 除法

二元数の除法は、除数の実部が 0 でないときに、定めることができる。ふつうの複素数の除算と同様、非実部を相殺するため、分母の共役を分母子に掛けてやればよい。

したがって次の形:

${a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon}$

の除算をするには、分母子に分母の共役を掛け:

$= {(a+b\varepsilon)(c-d\varepsilon) \over (c+d\varepsilon)(c-d\varepsilon)} = {ac-ad\varepsilon+cb\varepsilon-bd\varepsilon^2 \over (c^2-d^2\varepsilon^2)} = {ac-ad\varepsilon+cb\varepsilon-0 \over c^2-0}$