五角数

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五角数（ごかくすう、pentagonal number）とは多角数で、正五角形の形に点を下図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。五角数は無数にあり、そのなかでは1が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例：5(=1+4)、12(=1+4+7)、92(=1+4+7+10+13+16+19+22)

1		5		12		22

n番目の五角数を P_n とすると上図より

p₁ = 1 , p_n+1 = p_n + 3n + 1

が導かれる。よって五角数の式は

$P_n = P_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k + 1) = \frac{n(3n-1)}{2} \quad (n \ge 2)$

これはn=1のときも成り立つ。五角数を小さいものから順に列記すると 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001,…　となる。

n番目の五角数は3n-1番目の三角数の1/3に等しい。

五角数は奇数-奇数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。また1と5以外の五角数は全て合成数である。

五角数はオイラーの五角数定理に現れる数である。

全ての自然数は高々5つの五角数の和で表わすことができる。（→多角数定理）

最終更新 2009年4月22日 (水) 04:57 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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