交項級数

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交項級数（こうこうきゅうすう、英語: alternating series）とは無限級数で項の符号が交互に入れ替わるものである。これは以下の形で表される級数である。

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \ a_n \ , \ a_n \ge 0 \ \mbox{or} \ a_n \le 0$

全ての自然数nに対して a_n は同符号。展開すると以下のようになる。

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \ a_n = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots$

$a_0 > 0 \,$ で a_n が単調減少（または $a_0 < 0 \,$ でa_n が単調増加）かつ0に収束するとき、この級数も収束する。これは交項級数の特徴であり、一般の級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ にはあてはまらない性質である。例えば a_n = 1/n である調和級数

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$

は a_n が単調減少で0に収束するが、級数自体は発散する。一方

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$

は収束する。この級数の収束値は ln2（=0.69314…）である。

[編集] 収束条件の証明

$a_0 > 0 \,$ , a_nが単調減少ならば　 $a_0 > a_1 > a_2 > \cdots > a_{n-1} > a_n > \cdots > 0$ である。
また a_n が0に収束するとき $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = 0$
第2n項までの部分和を $S_{2n}\quad$ とすると