伝達関数法

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伝達関数法（でんたつかんすうほう）とは、複素関数論（ラプラス変換など）を用いた制御系の解析法である。

[編集] 伝達関数

伝達関数(transfer function)とはシステムへの入力を出力に変換する関数のことをいう。伝達関数は、すべての初期値を零とおいたときの、制御系の出力と入力のラプラス変換（またはZ変換）の比で表される。すなわち、連続システムのとき、出力信号 $y (t)$ のラプラス変換を $Y (s)$ 、入力信号 $x (t)$ のラプラス変換を $X (s)$ とすれば、伝達関数 $G (s)$ は

$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{\mathcal{L}\left[y(t)\right]}{\mathcal{L}\left[x(t)\right]}$

と表される。

離散システムに対して、伝達関数はZ変換によって、

$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\mathcal{Z}\left[y(n)\right]}{\mathcal{Z}\left[x(n)\right]}$

と表される。

この伝達関数法では、時間領域の関数を、ラプラス変換（またはZ変換）によって周波数領域に変換することにより、系の特性や安定性を解析するのに用いる。ただし、対象となる系が 1入力 1出力（線形関数）に限られているため、複雑な系（多入力多出力、非線形）の解析には状態空間法を用いる。しかしながら、この伝達関数法は、今日の制御理論においても基礎となる重要な理論である。

[編集] 周波数伝達関数

$s$ を $j ω$ とすると、周波数伝達関数(frequency transfer function)は $G (j ω)$ と表される。周波数伝達関数は複素数であるため、次のように表わされる。

$G(j\omega)= {\rm Re}\{G(j\omega)\} + j~{\rm Im}\{G(j\omega)\} = |G(j\omega)| e^{j\angle G(j\omega)}$

この式の特性を見るためにナイキスト線図、ボード線図、ニコルス線図がある。

周波数伝達関数の絶対値 $| G (j ω) |$ を利得といい、偏角 $\angle G(j\omega)$ を位相（位相角）という。

[編集] 各種要素の伝達関数

積分要素: $G(s)=\frac{k}{s}$
1次遅れ要素: $G(s)=\frac{K}{Ts+1}$
微分要素: $G (s) = T s$
むだ時間要素: $G (s) = e - s τ$
2次遅れ要素: $G(s)=\frac{K}{(T_1 s+1)(T_2 s+1)}$; $G(s)=\frac{K}{s^2+2\zeta \omega_n s+\omega_n{}^2}\quad (\zeta<1)$; $G(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}$