位取り記数法

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この項目では、底が自然数の場合について記述しています。一般の場合については「広義の記数法」をご覧ください。

位取り記数法（くらいどりきすうほう）は、数の表現方法の一種で、適当な自然数 N (> 1) を指定して N 種類の記号（数字）を用意し、それを列べることによって数を表すための規則である。

位取り記数法で指定された自然数 N をこの記数法の底（てい）または基数といい、底が N であるような位取り記数法を「N 進法」「N 進記数法」という。N 進法では、N 種類の数字からなる記号列において、隣り合う上位の桁（けた）に下位の桁の N 倍の意味を持たせる位取りによって数を表現する。

数を N 進法で表記することを「N 進表記」という。また、N 進表記された数という意味で「N 進数」という呼称を使用することもある。

関連が深い概念として、素数 p 毎に定まる p 進数というものもある。両者は別概念ではあるが非常に関連があり、整数のp進表記を（可算）無限桁の自然数の範囲に拡張したものがp進整数で、さらにそこに有限桁の少数部分を許したものがp進数である。ただし「無限桁の整数」（の一部は有理数として再解釈できるもののほとんど）はこの項目で扱う普通の数（実数）とは異なる。

N 進法の表記において正負や小数を表現する場合には、符号や小数点が併用される。

日常的に最多用されている記数法は十進法である。また、時間は三百六十単位を基本にして、十二単位、三十単位、六十単位の組合せで表現され、場合によってはこれらの累乗数（十二進法、六十進法。三十進法は今の所使われていない）が用いられる。

[編集] 概説

日常用いられている、十倍ごとに位をとる数の表記法は十進法と呼ばれ、零から九までの十通りの数値については、それぞれを表す 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 というような専用の文字（数字）が用意されている。そして 9 より一だけ大きい十を一文字で表記せず、1 と 0 の二文字を組み合わせて 10 と桁を上げて表記する。

同様に、二文字の数字を使えば、00 から 99 まで百通り（十の平方）の数を表現することができる。99 より大きな数を表現するには、更にもう一文字（桁）増やして、100 と表記する（この表記法は 0 が発見されてから可能になった）。

このように、十種類の文字を列べて十通りの数を一桁で表し、百通りの数を二桁で、千通りの数を三桁で、というように十の N 乗通りの数を N 桁で表すのが十進法である。十進表記で記された数を十進数と呼ぶ流儀もある。

ここで、「十」という数を二に変えると二進法に、二十に変えると二十進法になる。例えば、二十進法では普通、0 から 9 までの数字十種類と、A から J までのアルファベット十種類、合わせて二十種類の文字を共に数字として扱い、数を表現する。例えば、十進法では 15 と二桁で表記される数も、二十進法では F と一文字で表記できる。

逆に、八進法では 0 から 7 までの八種類の文字を数字として扱い数を表現するので、十進法で 8 と書き表される数は、八進法では 10 と表され、二桁を必要とする。

[編集] 自然数の表記

任意の自然数 T に対し、r を十分大きく取れば、

$T = c_0\cdot 1 + c_1N + c_2N^2 + \dots + c_rN^r$

を満たし、各 c_i は 0, 1, 2, 3, ..., N - 1 のいずれかであるような {c_i} を一意的に取ることができる。

実際、次のようにすれば {c_i} と r を求めることができる（底変換アルゴリズム）。

T を N で割った商を T₁, 余りを c₀ とする。
T₁ を N で割った商を T₂, 余りを c₁ とする。
以下 T_i を N で割った商を T_i+1, 余りを c_i とする操作を繰り返す。
T_k = 0 となった時 r = k - 1 とする。

さて、このとき、0 から N - 1 までの自然数に何らかの記号（数字）を対応させておいて、 c_r, c_r-1, ..., c₁, c₀ に対応する記号を順に並べれば、任意の自然数 T を有限個の記号で表記できることになる。この表記のことを T の N 進表記 という。

なお、上記ではアルゴリズムが終了するまで r が幾つになるか分からないが、対数を用いれば

$\left\lfloor\log_N T\right\rfloor$

として事前に r を求めておくこともできる。ただし、

$\lfloor x\rfloor$

は x を超えない最大の整数である（床関数参照）。

二進表記	三進表記	六進表記	十進表記	十二進表記
1	1	1	1	1
10	2	2	2	2
11	10	3	3	3
100	11	4	4	4
101	12	5	5	5
110	20	10	6	6
111	21	11	7	7
1000	22	12	8	8
1001	100	13	9	9
1010	101	14	10	A
1011	102	15	11	B
1100	110	20	12	10

[編集] 例

十進表記の 5213 を五進表記に置き換える場合：

5213 ÷ 5 = 1042 余り 3
1042 ÷ 5 = 208 余り 2
208 ÷ 5 = 41 余り 3
41 ÷ 5 = 8 余り 1
8 ÷ 5 = 1 余り 3
1 ÷ 5 = 0 余り 1

より 5213 = 3 + 2 × 5 + 3 × 5² + 1 × 5³ + 3 × 5⁴ + 1 × 5⁵ となるので、五進表示では 131323 と表すことができる。また、5⁵ = 3125, 5⁶ = 15625 から 5⁵ < 5213 < 5⁶ が成り立っているので、対数を用いれば

5 < log 5 5213 < 6

となり、

$r=\left\lfloor\log_{5}5213\right\rfloor =5$

が分かる。

二百七十の表記法は、以下のような意味となる。（便宜上、計算式を十進表記で記す）

二進表記（100001110）：270 = 256 + 14 = 2⁸ + 2³ + 2² + 2¹
六進表記（1130）：270 = 216 + 54 = 6³×1 + 6²×1 + 6¹×3
十進表記（270）：270 = 200 + 70 = 10²×2 + 10¹×7
十二進表記（1A6）：270 = 144 + 126 = 12²×1 + 12¹×10 + 6
二十進表記（DA）：270 = 260 ＋ 10 = 20¹×13 + 10

また、500 と表記される数は、十進表記では五百だが、十二進表記では七百二十を、二十進表記では二千を意味する。

これは、十二進表記では「五倍の百四十四（=十二の平方）」を意味し、二十進表記では「五倍の四百（=二十の平方）」を意味するからである。従って、十二進表記の“500 ÷ 26 = 20”は、十進表記では“720 ÷ 30 = 24”と直される。

[編集] 整数の表記

T が負の数である場合には記号列の先頭に負符号 − を付けて、その後に絶対値 |T| の N 進表記を続けることにすれば、任意の整数を同様にして表記できる。

二進表記	三進表記	六進表記	十進表記	十二進表記
−110	−20	−10	−6	−6
−101	−12	−5	−5	−5
−100	−11	−4	−4	−4
−11	−10	−3	−3	−3
−10	−2	−2	−2	−2
−1	−1	−1	−1	−1
0	0	0	0	0

[編集] 有理数・実数の表記

[編集] 小数表現

任意の有理数・実数は

$a_l N^l + a_{l-1}N^{l-1} + \cdots + a_1 N + a_0 + {a_{-1}\over N} + {a_{-2}\over N^2} + \cdots$

（各位の a_i は 0 以上 N 未満の整数）の形に表される。これを N 進法では（0 以上 N 未満の整数にそれぞれ記号を与えて）

$a_la_{l-1}\ldots a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots$

と表記する。

	十進表記	十二進表記	二十進表記
1 ÷ 2	0.5	0.6	0.A
1 ÷ 3	0.3333…	0.4	0.6D6D…
1 ÷ 4	0.25	0.3	0.5
1 ÷ 5	0.2	0.2497…	0.4

[編集] 例1

二進法で 0.111 と表される数は、零、二分の一、四分の一、八分の一を加えた数という意味で、例えば十進法などでは

$0 + 1 \times{1\over 2} + 1 \times{1\over 4} + 1 \times{1\over 8} = {7\over 8} = 0.875$

と表される。

[編集] 例2

十進法で表された絶対値が1未満の小数をN進法に変えたい場合、次のようにすればよい。

Nを掛け、整数部と小数部に分ける。
その小数部にNを掛け、再度整数部と小数部に分ける。
小数部が0になるまで同様の操作を繰り返す。
整数部を上位から並べる。

例えば十進表記の0.8125を2進表記に置き換える場合、

0.8125×2=1.625=0.625+1
0.625×2=1.25=0.25+1
0.25×2=0.5=0.5+0
0.5×2=1.0=0.0+1

となるので、2進表記では0.1101と表される。

[編集] 関連項目

[編集] 参考文献

ヘンリー・S・ウォーレン、ジュニア『ハッカーのたのしみ』 ISBN 4434046683

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最終更新 2009年10月9日 (金) 01:07 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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