円柱 (数学)

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数学において円柱(えんちゅう、cylinder)は二次曲面（三次元空間内の曲面）で、デカルト座標によって次の方程式で定義されるものである:

$\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$

この方程式は楕円柱を表し、a = b のときのみを円柱（あるいは正円柱）とよぶこともある。円柱は、少なくとも 1 つの座標（この場合 z）が方程式に現れないので退化二次曲面の一種である。定義の仕方によっては円柱は全く二次曲面とは考えられない。

一般の用法で円柱は、上記の意味での正円柱を有限の長さで切断し、両端が二つの円板によって閉じられているような図形を意味する。もしこの意味での円柱が半径 r と長さ（あるいは高さ）h を持つならば、その体積 V と表面積 S は

$V = \pi r^2 h \,$

$S = 2 \pi r ( r + h ) \,$

によって与えられる。

体積が 1 つ与えられたとき、表面積が最小となる円柱では h = 2r という関係が成り立つ。また、表面積が 1 つ与えられたとき、体積が最大となる円柱は h = 2r という関係を持つ。

さらに幾つかの特異な種類の円柱の仲間が存在する。

虚楕円柱面: $\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = -1$

双曲柱面: $\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$

放物柱面:

x 2 + 2 y = 0

[編集] 関連項目

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