分岐点 (数学)

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数学の一分野である複素解析における多価関数の分岐とは、その多価関数がある点の周りで任意の形の小さな閉回路になるときに、関数が不連続になる点のことである^[1]。多価関数は厳密にはリーマン面を使って解析されるため、分岐の厳密な定義はそこで行われる。英語からは branch cut を分岐、branch point を分岐点と訳すことが多いが、分岐という語はどちらの意味でも使われる。この項では、分岐点を branch point、分岐を branch cut、分枝を branch の意味で使う。また関数の定義域での分岐を英語では ramification と言って値域での分岐 branch cut と区別するが、本項ではどちらも分岐とし、必要に応じて括弧書きで英単語を補っている。特記のない場合は branch cut である。

分岐点は三種類に大別される。それぞれ、1) 代数的分岐点、2) 超越的分岐点、3) 対数的分岐点、である。最も一般的なのは代数的分岐点で、たとえば方程式 z = w² を解いて、複素数 w を z の関数 w として得たいと考えたとき、つまり z の平方根を関数として求めようとしたとき、方程式の根が複数あるのに、どれを関数値とするかを決定する情報がない、といった状況で現れる分岐点である。この例では、原点を囲むどの閉曲線に関する解析接続も相異なる関数となり、一価性 (en) が自明でないため、分岐は原点である。しかし代数的分岐点があっても、関数 w は原点において連続な多価関数として定義可能である。超越的分岐点および対数的分岐点では一価性が自明でなく、分岐点が真性特異点でもあるのは対照的である。

[編集] 代数的な分岐点

$Ω$ をガウス平面 C と正則関数 ƒ:Ω → C の連結開集合とする。 ƒ が定数でなければ、ƒ の臨界点 (critical point, en) の集合、つまりその関数の導関数 ƒ'(z) の零点の集合には $Ω$ の極限点 (limit point, en) は含まれない。すると ƒ の各臨界点 z₀ は、その閉包内に ƒ の他の臨界点を含まない円板 (disc, en) B(z₀,r) の中心にあることになる。

B(z₀,r) の境界を $γ$ とし、その向きを正に取ると、ƒ(γ) の点 ƒ(z₀) における巻き数 (winding number, en) は正の整数になる。これを z₀ の 分岐指数 (ramification index) と呼ぶ。分岐指数が 1 よりも大きい場合、z₀ は ƒ の分岐点 (ramification point) と呼ばれ、その点の臨界値 (critical value, en) ƒ(z₀) を (代数的) 分岐点 (branch point) と呼ぶ。言い換えると、1 より大きな正の整数 $k$ に対して ƒ(z) = φ(z)(z − z₀)^k となるような正則関数 φ が z₀ の近傍で定義されるとき、z₀ を分岐点 (ramification point) と呼ぶ、と言うことである。

特に ƒ そのものでなく、その逆関数に着目すると、分岐点 (ramification point) の近傍で正則関数の逆関数が一般には存在せず、したがって逆関数は一般化解析関数 (en) として、多価関数としてしか定義できない。一般化解析関数 ƒ⁻¹ の分岐点 (branch point) を ƒ の分岐点 w₀ = ƒ(z₀) としてしまうのは、乱暴であると言わざるを得ない。陰関数として定義されるような多価の一般化解析関数などを使った、もっと一般的な分岐点の定義も可能である。そういったいくつもの例を統合して扱う枠組みとして、リーマン面について後述する。さらに大きな意味では、次数が 1 よりも大きな極も分岐点 (ramification point) と考えることができる。

一般化解析関数 ƒ⁻¹ を考えると、分岐点 (branch point) は一価性 (monodoromy, en) が自明でない点の周りにあることになる。たとえば関数 ƒ(z) = z² は z₀ = 0 に分岐点があるが、その逆関数である平方根関数 ƒ⁻¹(w) = w^1/2 では分岐点 (branch point) は w₀=0 にある。閉曲線 w = e^iθ に沿って進むとき、θ = 0 から始めると e^i0/2 = 1 が出発点になるが、θ = 2π まで来ると e^2πi/2 = −1 に来ることになる。したがってこの閉曲線については、原点の周りで一価性があると言える。

[編集] 超越的および対数的分岐点

g を点 z₀ に関する、その点だけを除いた円板上 (punctured disc) の一般化解析関数であるとすると、z₀ が g の真性特異点であり、z₀ を囲む単純な閉曲線となる関数の解析接続が相異なる関数となるとき、g には超越的分岐点がある、という^[2]^[3]。多価関数

$g(z) = \exp \left( z^{-1/k}\right)\,$

では、整数 k が k > 1 のときに原点が超越的分岐点となる。原点での一価性は有限である。

一方で、点 z₀ における巻き数が 0 でないような曲線の解析接続によっては元の関数の関数要素が得られないような場合、z₀ を対数的分岐点と呼ぶ。これは、この種の分岐点が複素対数関数の分岐点として原点に現れることから、対数的と呼ばれている。原点の周りの単純閉曲線を反時計方向に一周すると、複素対数関数の値は 2πi だけ増える。巻き数が w の閉曲線であれば 2πi w だけ増える。

超越的分岐点には、分岐 (ramification) に対応するものはない。それはそれに対応するリーマン面が、分岐点自身を含む包 (ccover) に解析接続できないからである。このような包はしたがって、常に分岐 (ramification) しない。

[編集] 例

0 は平方根関数の分岐点である。w = z^1/2 で z がガウス平面上の点 $(4,0)$ から原点を中心とする半径 4 の円上を動いていくとすると、従属変数 w の値は z の値の変化にしたがって連続的に変化していく。z が円を一周して出発点 $(4,0)$ に戻ってくると、w はそれまでに、4 の正の平方根 $(2,0)$ から、4 の負の平方根 $( - 2,0)$ までの半円を描いている。
0 は自然対数の分岐点でもある。e⁰ は e^2πi と同じ値なので、 Log(1) は 0 と 2πi の両方の値を取り、多価となる。z が原点を中心とする半径 1 の円上を動くとき、w = Log(z) は 0 から 2πi まで変化する。
三角法では tan(π/4) と (5π/4) の値はどちらも 1 であり、したがって arctan(1) の値は二つの値 π/4 と 5π/4 を取り、多価である。虚数単位 i と −i の表す点が逆正接関数 (arctan(z) = (1/2i)log(i − z)/(i + z)) の分岐点である。これは、逆正接関数の導関数 (d/dz) arctan(z) = 1/(1 + z²) の分母がその点で 0 になり、そこが導関数の極であることからもわかる。
点 a が関数 ƒ の導関数 ƒ ' の極であるとき、a は ƒ の対数的特異点である。しかし逆は成立しない。α が無理数のとき関数 ƒ(z) = z^α には対数的分岐点があって、その導関数が正則でなくても、極とはならないためである。

[編集] 分岐

大まかに言うと、分岐点とは多価関数の複数のシート (sheet) が集まって重なる点である。分枝とは、その各シートのことである。たとえば関数 w = z^1/2 には二つの分枝がある。一つは符号が正の平方根、もう一つは負である。分岐 (branch cut) とは、多価関数から一つの分枝 (branch) を選び出して定義できる、ガウス平面上の曲線のことである。分岐は通常、二つの分岐点の間に取られるが、そうでない場合もある。

分岐を考えることで、多価関数をそのまま扱う代わりに複数の分岐をつなげて、複数の一価の関数が集まったものとして扱うことができるようになる。たとえば

$F(z) = \sqrt{z} \sqrt{1-z}\,$

という関数を一価にするためには、この関数の二つの分岐点を結ぶ、実数軸上の区間 [0, 1] を一つの分岐とする。関数 √z でも同様にできるが、この場合は一方の分岐点は 0 であるとして、もう一方は無限遠にし、たとえば実数軸の負の領域すべてを分岐とする。

分岐の取り方は恣意的にも感じられるが、たとえば特殊関数を扱うときなどに非常に有用である。リーマン面を考えることで様々な分岐が統一的に説明できる。また代数関数 (algebraic function, en) や微分方程式における分岐 (ramification) や一価性 (monodromy, en) の理論で一般化される。

[編集] 複素数の対数

複素数の自然対数関数の虚部は多価であり、これをプロットして分枝として見ることができる。複素数 z が原点に近づくとき、その対数値の虚部は上下する。

詳細は「自然対数#複素数の対数間」、「主枝」をそれぞれ参照

分岐の最も分かり易い例は、複素数の対数関数である。複素数を極形式で z = re^iθ と表すと、z の対数は

$log z = ln r + i θ$

となるが、θ の取り方には無数のやり方がある。ある範囲の θ に 2π の整数倍を加えた別の範囲では、関数の振る舞いはすべて同じだからである。ガウス平面上の連結開集合内のすべての複素数 z に対して、その対数を与える連続関数 L(z) が、その対数関数の分枝である。特に、原点から無限遠に伸びる半直線の補空間にはどれにも、対数関数の分枝があり、これを分岐 (branch cut) と呼ぶこともある。ほとんどの場合、便宜上の理由から実数軸の負の側を分枝とする。

この分枝上では対数関数は定義されないため、これと交差するように点が異動するときには値が不連続に 2πi だけ変化する。シートと呼ばれる同じ形をした、分枝に沿ったガウス平面の関数をくっつけることにより、対数関数を連続関数にすることができる。各シートでの対数関数の値は主値 (principal value, en) に 2πi の整数倍を乗じた値になっている。各シートは分枝に沿って、対数関数が連続になるようにくっつけられる。変数が原点に近づくときは毎回、関数値は異なる枝に向かって動くことになる。

[編集] 極の連続体

分枝は、ガウス平面上での線に沿って極を無限に足し合わせた和で、留数が無限に小さいと考えられるので、複素解析では分枝はよく用いられる。たとえば関数

$f_a(z) = {1\over z-a}$

には z = a という極があるが、この極を含んだ領域での積分は以下のようになる。

$u(z) = \int_{a=-1}^{a=1} f_a(z) \,da = \int_{a=-1}^{a=1} {1\over z-a} \,da = \log \left({z-1\over z+1}\right)$

この積分で −1 から 1 までを分枝とする関数 u(z) を定義できる。点 z をまたいでしまわないようにすれば積分の値が変わらないように積分範囲を異動することができるため、取る分枝も変えることができる。

[編集] リーマン面

分岐点は、コンパクトな連結されたリーマン面 X から同じくコンパクトなリーマン面 Y (通常リーマン球面と呼ばれる) への正則関数 ƒ:X → Y について、考えることができる。これが定数でないなら、有限個の点を除いて関数 ƒ はその像への被服空間 (covering map, en)になる。ƒ が閉包にならない X の点は ƒ の分岐点 (ramification point) であり、ƒ でのその分岐点 (ramification point) の像が分岐点 (branch point) と呼ばれる。

P ∈ X、Q = ƒ(P) ∈ Y というどんな点においても、関数 ƒ(z) が整数 k について

$w = z k$

で与えられることで、X については P の、Y については Q の近傍に準同型な局所座標がある。この整数 k を P の分岐指数 (ramification index) と呼ぶ。分岐指数は通常 1 である。そうでない場合は P が分岐点 (ramification point) であると定義され、Q は分岐点 (branch point) になる。

Y がリーマン球面で Q が Y 内の有限な部分であれば、特に座標を選ぶ必要はない。分岐指数はコーシーの積分公式から陽に得ることができる。γ を X 内で長さが有限な P の周りの閉曲線であるとすると、ƒ の P における分岐指数は

$e_P = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)-f(P)}\,dz.$

となる。この積分は ƒ(γ) が Q の周りを回る回数になる。上に示すように、e_P > 1 であれば P は分岐点 (ramification point) で Q が分岐点 (branch point) である。

[編集] 代数幾何学

詳細は「分岐被服」を参照

代数幾何学においては、分岐の概念を任意の代数曲線 (algebraic curve, en) の間の写像に拡張することができる。ƒ:X → Y を二つの代数曲線間の準同型写像とすると、Y 上の有理関数から X 上の有理関数へ戻ることで、K(Y) の体を拡大した K(X) を考えることができる。ƒ の位数 (degree) はこの体の拡大 [K(X):K(Y)] の位数と等しいと定義され、位数が有限の時、ƒ は有限である、と言う。

ƒ が有限の時、点 P ∈ X の分岐指数 e_P は以下のように定義される。Q = ƒ(P)、t を P における局所座標関数 (local uniformizing parameter, en) とすると、t は Q の近傍でされる正則関数 (regular function) で、t(Q) = 0 であり、またその導関数は非零である。t から ƒ だけ戻ることにより、X 上の正則関数を考えることができる。そのとき、 v_P をその正則関数の P における局所環に含まれる付値環 (valuation ring, en) とすると、

$e_P = v_P(t\circ f)$

となる。つまり e_P は点 P において $t\circ f$ が消失するような次数となる。e_P > 1 のとき ƒ は P で分岐する (ramify) と言う。そのとき、Q を分岐点 (branch point) と呼ぶ。

[編集] ピュイズー級数

ピュイズー級数 (Puiseux series, en)、負の数の指数や分数の指数を展開する級数) は、ローラン展開を拡張したもので、代数曲線 (algebraic curve, en) の分岐を定義できる。

[編集] 脚注

^ Mark J. Ablowitz and Athanassios S. Fokas, "Complex Variables: Introduction and Applications", 2nd ed., Cambridge University Press, ISBN:978-0-521-53429-1, 2003.
^ E.D. Solomentsev, Branch point, In Michiel Hazewinkel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN: 978-1556080104 (2001).
^ A. I. Markushevich , Theory of functions of a complex variable. Vol. I, Translated and edited by Richard A. Silverman, Englewood Cliffs, Prentice-Hall Inc., N.J., MathSciNet ID:0171899, 1965.

[編集] 参考文献

Ahlfors, L. V. (1979), Complex Analysis, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7
Arfken, G. B.; Weber, H. J. (2000), Mathematical Methods for Physicists (5th版), Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0463157, ISBN 978-0-387-90244-9, OCLC 13348052

最終更新 2009年9月26日 (土) 01:01 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【分岐点 (数学)】変更履歴

[0] Mark J. Ablowitz and Athanassios S. Fokas, "Complex Variables: Introduction and Applications", 2nd ed., Cambridge University Press, ISBN:978-0-521-53429-1, 2003.

[1] E.D. Solomentsev, Branch point, In Michiel Hazewinkel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN: 978-1556080104 (2001).

[2] A. I. Markushevich , Theory of functions of a complex variable. Vol. I, Translated and edited by Richard A. Silverman, Englewood Cliffs, Prentice-Hall Inc., N.J., MathSciNet ID:0171899, 1965.

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