分数

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1個のケーキから四分の一を除いたら四分の三が残る

分数（ぶんすう、fraction）とは 2つの数の比を用いた数の表現方法のひとつである。

[編集] 定義

[編集] 分数の様式

分数は中央の括線（かつせん、Vinculum）と呼ばれる横棒を隔てて、上に分子（ぶんし、numerator）、下に分母（ぶんぼ、denominator）を配置することにより記述される。

${n \over d}$

を「d 分（ぶん）の n」と読む。 ⁿ⁄_d などとも書かれる。

${\, {a \over b} \, \over {c \over d}}$

のように分子・分母がさらに分数を含むような分数を繁分数（はんぶんすう、compound fraction）という。

$x = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1 + \cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{a_3 + \cdots }}}$

のように分母が数と分数の和でありさらにその分母が数と分数であるといった形のものを連分数という。

… の部分は有限個でとまる場合もあるし、無限に分数が繰り返されるものもある。

[編集] 数としての分数

正の整数 m に対し ¹⁄_m のように分子が 1 である分数を単位分数（たんいぶんすう、unit fraction）という。これは 1 を m 等分した数量を表す。

正の整数 m, n に対し分数 ⁿ⁄_m には n ÷ m という意味、単位分数 ¹⁄_m の n 倍という意味、 n : m という比の値という意味などがある。これらは同じ値を示すが、歴史的には地域によって分数の捉え方が異なる。古代エジプトでは単位分数は基本的な量と考えられ、さまざまな分数を異なる単位分数の和として表した。その計算の一部はリンド数学パピルスなどに残されている。

分数は 1 より小さい値として扱われてきたため、分子が分母より小さい分数を真分数（しんぶんすう、proper fraction）という。

整数と分数の和

$k + {m \over n}$

の + を省略して

$k{m \over n}$

と書いた分数を帯分数（たいぶんすう、mixed number）という。この表示により 1 以上の数も整数部分と真分数の組み合わせで表せるようになる。真分数と違い、分子の数が分母の数以上である分数を仮分数（かぶんすう、improper fraction）という。

帯分数は数の大きさを把握するのには便利であるが、整数の部分と分数の部分を意識して分けて計算しないといけないため少し計算に手間がかる。仮分数は分子をいくらでも大きくしてよいので帯分数と違って整数部分と分数の区別を無くす事ができ、計算もしやすくなるが、数の大きさを把握しにくくなる。

$6 {4 \over 13} = 6 + {4 \over 13} = {6 \times 13 \over 13} + {4 \over 13} = {82 \over 13}$

途中の式変形の仕方は他節に譲る。

この等式では左辺の帯分数 6 ⁴⁄₁₃ によれば 6 より少し大きいくらいの数と分かるが、右辺の仮分数 ⁸²⁄₁₃ ではそれが分かりにくい。

分数は正の整数だけではなく、整数全体や実数、複素数等を用いても定義される。整域であれば定義されるが、除法としての意味からも分かるように分母が 0 の分数には対応する数が無い。しかし極限を取り扱う場合などに便宜上、分母が 0 の分数を使う事がある。それらの分数は数として計算に使われるわけではなくあくまで説明用に便宜的に表現されただけのものであることが多く、その表現がどういう意味で用いられているのかは前後の文脈から判断する必要がある。

分母、分子ともに整数である分数で表す事ができる数を有理数という。また分子・分母が数式（関数）であるような分数を分数式（分数関数）といい、特に多項式の商として表される分数式を有理式とよぶ。分数式まで視野に入れると、何かに占める割合といった分数の意味は薄れるが、それは商（除法）の概念がそうであるのと同様である。

積演算が非可換であるとき除法が左右で区別されるように分数も割る方向の左右で区別される。以下では演算は可換であるとして話を進める。

[編集] 分数の演算

[編集] 分母と分子の定数倍

分数は比や割合を表すので、 0 でない定数 a を分母・分子にかけたり割ったりしてもその表す数は変わらない。

${n \over m} = {n \times a \over m \times a} = {n \div a \over m \div a}$

m と n が整数で公約数 d を持つとき、適当な整数 a, b によって

m = a × d

n = b × d

の形に書かれ

${n \over m} = {b \times d \over a \times d} = {b \over a}$

となる。このように分母と分子を公約数で割る操作を分数の簡約（かんやく、reduction, cancellation）あるいは簡単に約分（やくぶん）と呼ぶ。 m と n が互いに素であるとき ⁿ⁄_m は既約分数（きやくぶんすう、irreducible fraction）であるという。既約分数の時は、分母と分子の最大公約数が 1 であるため約分によって簡単な形に変形することはできない。既約分数ではなく、まだ約分して変形していけるとき、その分数は可約（かやく、reducible）であるという。

${260 \over 364} = {4 \times 65 \over 4 \times 91} = {65 \over 91} = {5 \times 13 \over 7 \times 13} = {5 \over 7}$

これらの分数は同じ数を表しているが、右辺の ⁵⁄₇ は 5 と 7 が互いに素なので既約分数であり、それ以外の ²⁶⁰⁄₃₆₄ などの分数は可約である。

分母や分子が整数の時に限らず多項式やその他の数式であっても因数が定義されていて分母と分子に共通な因数がある時、約分という操作が行われる。

${x^3 -5x^2 +8x-4 \over x^3 -x^2 -8x +12} = {(x-1)(x-2)^2 \over (x+3)(x-2)^2} = {x-1 \over x+3}$

は分数式の約分であり、分母と分子をそれぞれ因数分解して共通因数を見つけ、それによって約分をした結果、分母・分子ともに次数の低い簡明な式になっている。この変形は分数式の変形としては正しいが x = 2 という値を代入したときに左辺は ⁰⁄₀ となってしまい数が対応しないため左辺は x = 2 では定義できない。しかし右辺は ¹⁄₅ で値が定まっているという違いが出ることに注意しなければならない。 x = 2 でのこの式の値を ¹⁄₅ としてもいいのかどうかは場合によって異なる。

[編集] 基本的な演算

$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

分数は割り算に割り算は分数に置き換えることができる。

${b \over a} = b \div a$

等式

${b \over a} = c$

において、両辺に a をかけ分母の無い形

b = c × a

にすることを分母を払うという。

分数ではない数は分母が 1 の分数と見なせる。

$a = {a \over 1}$

これにより全ての演算は分数同士の演算と見なすことができる。逆に分母が 1 である分数は分母を省略し分数ではない数として扱える。

分数同士の積は分母と分子それぞれの積になる。

${b \over a} \times {d \over c} = {b \times d \over a \times c}$

特に分数 ^b⁄_a の逆数は ^a⁄_b であるため、これらの積は 1 になる。

${b \over a} \times {a \over b} = {b \times a \over a \times b} = 1$

分母が同じ分数の和や差は分子の和や差に置き換えることができる。

${b \over a} \pm {c \over a} = {b \pm c \over a}$

分母が異なる分数の和や差は分母と分子を定数倍することによって分母を一致させてから行う。 a と c の公倍数の一つ L を取る。すなわち適当な数 m, n を用いて

L = a × m = c × n

と書けるとき

${b \over a} \pm {d \over c} = {b \times m \over a \times m} \pm {d \times n \over c \times n} = {b \times m \pm d \times n \over L}$

となる。このように分母を合わせる操作を通分（つうぶん）という。

L としては最小公倍数がよく用いられるが、最小公倍数のはっきりしない一般的な式としては L = a × c を用いればよい。

${b \over a} \pm {d \over c} = {b \times c \pm a \times d \over a \times c}$

また、帯分数を仮分数に直す時にも同様の計算が使える。

$k {b \over a} = k + {b \over a} = {k \over 1} + {b \over a} = {k \times a +b \over a}$

分数での割り算はその法数の逆数による積に変換される。

${b \over a} \div {d \over c} = {{b \over a} \over \, {d \over c} \, } = {{b \over a} \times {c \over d} \over {d \over c} \times {c \over d}} = {{b \over a} \times {c \over d} \over 1} = {b \over a} \times {c \over d} = {b \times c \over a \times d}$