変分法

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変分法 （へんぶんほう、Variational method, Calculus of variations）は、通常の微分積分学が数の関数を扱うのに対して、関数の関数（汎関数）を扱う数学の一分野である。汎関数の例として、未知の関数およびその導関数を含む式を積分した形がある。

変分法は、幾何光学、古典力学、電磁気学、量子力学において、変分原理として用いられ、また計算手法の一つでもある。

[編集] 変分法を使った原理

[編集] 変分法を使った計算例（物性物理学）

多体問題において多体の波動関数を使って固有値問題を解析的かつ厳密に解くことは困難であり、何らかの近似手法を用いて解かれる。その近似手法の一つに変分法がある。

ある多体系において、規格化、直交性などの条件の下で任意に選んだ試行関数（変分関数とも言う。ここでは多体の波動関数）を、Ψ_trialとする。試行関数はいろいろな選び方があるがここでは、Ψ_trialは、系を記述する厳密な固有関数（波動関数）Ψ_iの展開で記述できるとする。

$\Psi_{trial} = \alpha_0 \Psi_0 + \alpha_1 \Psi_1 + \alpha_2 \Psi_2 + \cdots$

ここで、Ψ₀を基底状態の固有関数とする。Ψ₁、Ψ₂・・・は励起状態の固有関数。系のハミルトニアンをHとして、Hに対するΨ_iに対応する固有値をE_iとすると、試行関数Ψ_trialの固有値E_trialは、

$\left\langle \Psi_{trial} | H | \Psi_{trial} \right\rangle = E_{trial}$

であり、

$\begin{matrix} E_{trial} & = & \left\langle \alpha_0 \Psi_0 + \alpha_1 \Psi_1 + \alpha_2 \Psi_2 + \cdots | H | \alpha_0 \Psi_0 + \alpha_1 \Psi_1 + \alpha_2 \Psi_2 + \cdots \right\rangle \\ \ & = & | \alpha_0 |^2 E_0 + | \alpha_1 |^2 E_1 + | \alpha_2 |^2 E_2 + \cdots \ge E_0 \end{matrix}$

となる。この時、試行関数の固有値は、必ず基底状態の固有値E₀（これがこの場合の厳密の解）に等しいかエネルギー的により高い値となる。そして、展開係数であるα_iを調節してE_trialの最小値（最適値）E_optを求める。これが試行関数を使った変分法の手順である。この場合の最適値E_optも、真の固有値E_exact(=E₀)に対し、

$E_{opt} \ge E_{exact}$

となる。これが満たされない場合、その変分計算は正しくない。以上では、試行関数は厳密な解としてのΨ₀を含むという特殊な場合である。実際の計算では厳密な解が存在しない場合がほとんどである。尚、以上に出てくる固有値は、系の全エネルギーと置き換えて考えても良い。変分法の結果の良し悪しが、試行関数の選び方に強く依存する場合がある。

試行関数の具体例としては、スレーター行列式を使い、個々の一粒子波動関数を最適化するものや、試行関数にジャストロウ型波動関数を使い量子モンテカルロ法を使って最適値を求めたりする。量子化学的手法やバンド計算も変分法が使われており、様々な場面で利用されている。

試行関数を使用しない変分法も存在する。

[編集] 参考文献

日本数学会『岩波数学辞典（第3版）』岩波書店、1985年。ISBN 4000800167

最終更新 2009年7月20日 (月) 10:58 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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