完全性

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数学、論理学における完全性には二つの意味がある。

1. 形式論理体系で恒真である命題が必ず証明できる性質
2. 形式論理体系で表現可能な任意の文の肯定または否定が証明できる性質

ゲーデルは完全性定理によって、一階述語論理におけるどんな理論も前者の意味で完全であることを証明した。有名な不完全性定理は、自然数論を含む無矛盾で再帰的な理論が後者の意味では完全な体系に成り得ない事を示している。