対称群

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数学における対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）^[1]と呼ばれる。

[編集] 定義

集合 I_n = {1, 2, ..., n} に対し、I_n から I_n への全単射全体の集合を S_n とおくと、写像の合成を積と定義することで、S_n は群になることがわかる。これはn 次の対称群と呼ばれ、S_n の元は n 次の置換とよばれる。

X を有限集合とするとき、I_n の場合と同様にして X から X への全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。このとき、Sym(X) は X の対称群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。

特に、X に含まれる元の個数（X の濃度）が n のとき、X と集合 I_n とのあいだに全単射が存在するので両者を同一視することにより、Sym(X) と S_n とは群として同型になる。この（全単射の取り方に依存する）群の同一視は次のように理解できる。I_nからXへの全単射は I_n による X の元の番号付けによって、またはXの元を数え上げる列 (x₁, x₂, ..., x_n) によって表される。このとき n 次置換 σ は点 x_iを点x_σiに移すような写像、つまり点列 (x₁, x₂, ..., x_n) をの順序を (x_σ1, x_σ2, ..., x_σn) へと入れ替える写像として具体的に理解することができる。この写像に対応するグラフは、組 (x_k, σ(x_k)) を k = 1, 2, ..., n に対して集めた有限集合であり、これはしばしば

$\begin{pmatrix}x_k\\ \sigma(x_k)\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ \sigma(x_1) & \sigma(x_2) & \cdots & \sigma(x_n)\end{pmatrix}$

あるいは

$\begin{pmatrix}x_k\\ x_{\sigma(k)}\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ x_{\sigma(1)} & x_{\sigma(2)} & \cdots & x_{\sigma(n)}\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}k\\ \sigma(k)\end{pmatrix}$

のように記される^[2]。後者の記法は番号の入れ替えとしての σ の表示を与えており、この二つの記法の対応が集合X と集合 I_n との同一視の仕方（全単射の選び方）に応じた Sym(X) と S_n = Sym(I_n) との間に定まる群の同型対応を具体的に与えている。

無限集合についての対称群にあたるものとして二つの異なった概念が挙げられる。ひとつめの概念は有限集合 X に対する Sym(X) の構成をそのまま拡張し、有限とは限らない集合 Y に対しても Y から Y への全単射全体のなす群を考えることによって得られる。もう一つのより繊細な概念は、有限とは限らない集合 Y に対して、その有限部分集合全体のなす族 F を考え、有限対称群たち Sym(X) (X ∈ F) の直極限

$\varinjlim_{X \in \mathbf{F}} \mathrm{Sym}(X)$

として得られる群である。この二つの定式化は有限集合に対しては自然に同型な群を与えている。自然数の集合 N に対して二つ目の方法を適用して得られる群は S_∞ と書かれ、無限対称群と呼ばれる。これは S_n たちすべての合併と見なすことができる。

[編集] 諸概念

[編集] 互換

置換のうち、特に 2 つの元のみを入れ替えて他の元は変えないものを互換という。任意の置換は互換の積として表される。そのような表し方は一通りとはかぎらないが、表示にあらわれる互換の数が偶数であるか奇数であるか（偶奇性、パリティ）は表し方に依らずに決まる。偶数個の互換の積として表される置換のことを偶置換 (even permutation) といい、奇数個の互換の積として表される置換のことを奇置換 (odd permutation) という。n 次対称群の元のうち特に偶置換のみを集めると、その全体は n 次対称群の正規部分群となる。この群のことを n 次交代群 といい、A_n と表す。n が5以上のとき、 n 次交代群はより小さな群の合成としては表せなくなっており、このことから 5 次以上の方程式に代数的な解の公式が存在しないことが説明される（ガロア理論）。

[編集] 置換行列

n 次の対称群をベクトル空間の基底の変換として作用させることで置換を行列表示することができる。具体的に n 次元のベクトル空間 V とその基底 {e₁, e₂, ..., e_n} をひとつ固定して、置換 σ の V への作用を

σ(e_i) = e_σ(i)

(1 ≤ i ≤ n) によって定める。このとき σ の表現行列を P_σ とすると

σ(e₁, e₂, ..., e_n) = (e_σ(1), e_σ(2), ..., e_σ(n)) = (e₁, e₂, ..., e_n)P_σ

から、クロネッカーのデルタ δ を用いて P_σ = (δ_iσ(j)) となる。この行列 P_σ を、置換 σ に対応する置換行列（ちかんぎょうれつ、permutation matrix）という。偶置換に対応する置換行列の定める線型変換は空間の向きを保ち、一方で奇置換に対応する線型変換は空間の向きを反転させている。

[編集] 符号

n次の置換 σ について、σ の符号 (signature) と呼ばれる ±1 の数 sgn(σ) を定めることができる。sgn(σ) の定義にはいくつかの方法がある。

sgn(σ) = (−1)^d(σ)、ただし d(σ) は 1≤i<j≤n かつ σ(i)>σ(j) となっている(i,j)の組の数で、σ の転倒数と呼ばれる。
σ が偶置換のとき sgn(σ) = 1, σ が奇置換のとき sgn(σ) = −1。つまり σ が k 個の互換の積で表せるとき sgn(σ) = (−1)^k。
σ が表す置換行列を X_σ とするとき、X_σ の行列式によって sgn(σ) = det(X_σ)。
n 変数の差積 Δ = ∏_1≤i<j≤n (X_i − X_j) に対して、∏_{1≤i< j≤n} (X_σ(i) − X_σ(j)) = sgn(σ)Δ。

sgn は S_n から位数 2 の群 {±1} への準同型を定めており、二つ目の定式化からも明らかなように交代群はこの符号写像の核として特徴づけられる。

[編集] 共役類

群に関する基本的な問題としてその共役類の分類が挙げられるが、対称群 S_n における共役類は S_n の n への自然な作用に関する軌道の形によって分類される。実際、σ と τ が S_n の元ならば σ と τστ⁻¹ は同じ軌道の形を持っており、逆に σ と υ が同じ軌道の形を持つならばある τ ∈ S_n について υ = τστ⁻¹ となっている。たとえば、n = 3 で

σ: 1 → 2, 2 → 1, 3 → 3,

τ: 1 → 2, 2 → 3, 3 → 1

のとき、σ の軌道は {1, 2} と {3} であり、一方 τστ⁻¹ の軌道は {1} と {2, 3} で、どちらも一つの元からなる軌道を一つと二つの元からなる軌道を一つ持っている。

このように、軌道の形は各自然数 k に対して k 個の元を持つような軌道の数 m_k がいくつかを指定することで決定される。このとき、集合 n への作用を考えているので数列 (m_k)_k は ∑_k∈N km_k = n を満たさなければならない。このような数列は位数 n のヤング図形と一対一に対応しており、したがって S_n の共役類は位数 n のヤング図形たちによって記述されることになる。

[編集] 数学教育における置換

日本の初等・中等教育における置換の応用問題として、カードのシャッフル、あみだくじ、15パズルなどが題材とされることがある。

[編集] 関連項目

[編集] 脚注

^ 『岩波数学事典』日本数学会、岩波書店、2007年、第4版。ISBN 978-4000803090。
^ これはグラフであって、表示が似ているからと言ってベクトルや行列ではない。また、実際には前者（点の入れ替え）と後者（番号の入れ替え）は双対の関係にあり、ちょうど σ⁻¹(x_k) と x_σ(k) が、あるいは σ の右作用と左作用との入れ替えが対応する。

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最終更新 2009年8月12日 (水) 22:13 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【対称群】変更履歴

[0] 『岩波数学事典』日本数学会、岩波書店、2007年、第4版。ISBN 978-4000803090。

[1] これはグラフであって、表示が似ているからと言ってベクトルや行列ではない。また、実際には前者（点の入れ替え）と後者（番号の入れ替え）は双対の関係にあり、ちょうど σ⁻¹(x_k) と x_σ(k) が、あるいは σ の右作用と左作用との入れ替えが対応する。

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