有向集合

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有向集合（ゆうこうしゅうごう、directed set）とは、順序集合であって、任意の“有限”部分集合がその順序に関して有界であるようなもののことである。有向集合の概念を用いると、たとえば数列に対してその極限を考えるような操作の一般化として「ある集合の点からなる、有向集合で添字付けられる族」に対してその極限をとるという操作を可能にする。

[編集] 定義

順序集合 (X, ≤) は、その任意の二点 α, β ∈ X に対し、二元集合 {α, β} が順序 ≤ に関して上に有界である、すなわち γ ∈ X が存在して α ≤ γ かつ β ≤ γ が成立するとき、右に有向であるという。同様に、任意の二点 α, β ∈ X に対し、二元集合 {α, β} が順序 ≤ に関して下に有界である、すなわち γ ∈ X が存在して γ ≤ α かつ γ ≤ β が成立するとき、左に有向であるという。

左右両側に有向である順序集合を有向集合と呼ぶこともあるかもしれないが、通常は単に有向集合と呼ぶときは右有向集合を指す。順序集合 (X, ≤) が右に有向であるとき、X に ≤ と逆の順序をいれた順序集合 (X^op, ≤^op) （つまり、集合として X ^op = X で、A ≤ B (A, B ∈ X) ならば B ≤^op A となる順序集合）を考えれば、X^op は左に有向である。同様にして左有向集合から逆をとって右有向集合を作ることができる。

例

定義から明らかに、束は両側に有向な集合である。特に全順序集合は束であるから有向集合になる。自然数全体のなす集合 N は、通常の大小関係を順序として最小限を持つ全順序集合（整列集合）であるから、やはり（左）有向集合である。
図式、例えば •→•←• のようなもの。

[編集] 有向系と極限

有向集合で添え字付けられる族を有向系と呼ぶ。順系・逆系と呼ばれる特徴的な有向系に対して、その極限の概念が考えられる。

[編集] 射影極限

有向集合 (I, ≤) で添え字付けられる集合族 (E_α)_α∈I を考える。 α ≤ β となる任意の α, β ∈ I に対し、写像 f_αβ: E_β → E_α が定まり、

任意の α ∈ I に対し、f_αα = id_{E_α} 、
α ≤ β ≤ γ ならば
- $f_{\alpha\gamma} = f_{\alpha\beta}\circ f_{\beta\gamma}$

が成り立つとき、族 (E_α, (f_αβ)_α≤β)_α,β∈I は射影系 (projective system) あるいは逆系 (inverse system) であるという。

射影系 (E_α, (f_αβ)_α≤β)_α,β∈I に対し、直積集合 ∏_α∈I E_α の部分集合

{(x_α)_α∈I | x_α ∈ E_α, α ≤ β ⇒ x_α = f_αβ(x_β)}

をこの系の射影的極限、射影極限 (projective limit) あるいは逆極限 (inverse limit) と呼び

$\varprojlim_{\alpha \in I} E_{\alpha}, \quad \varprojlim_{\alpha} E_{\alpha}, \quad \varprojlim {E_\alpha}$

などと表す。あるいは

$\projlim_{\alpha} E_{\alpha}$

などのような記述も使われる。射影極限 proj-lim_α E_α の元は順序対 (x_α)_α∈I のかたちであるから、その各 α-成分 x_α を取り出す写像 pr_α が定義できて、α ≤ β を満たす任意の α, β ∈ I に対し

${\rm pr}_\alpha = f_{\alpha\beta}\circ {\rm pr}_\beta$

が成り立つ。

例実数: 有理数の 10 進小数展開（実際には位取りの基数は 10 でなくとも、何でも良い）を考えよう。自然数の全体 N が有向集合であったことを思い出す。各自然数 n に対し、有理数からなる集合 E_n を

E_n = {x ∈ Q | x の展開の小数第 n + 1 位以降は全て 0}

と定め、n ≤ m に対し、写像 f_nm: E_m → E_n を、E_m の各元に、その小数 n + 1 位以下を 0 として得られる E_n の元を対応させる写像とすれば、射影系 (E_n, (f_nm)_n≤m)_n,m∈N が得られる。ただし、自然数には 0 を含むものとし、E₀ = N とする。

このとき、射影極限 proj-lim_n E_n は成分ごとの和をとるという演算で次数つき Z 加群になり、さらに E_nE_m ⊂ E_mn であるから、次数つき環になっている。

また、proj-lim_n E_n の元 (x_n)_n∈N は

|x_m − x_n| ≤ 10^−|m−n|

を満たすような数列（つまりコーシー列）である。コーシー列の極限が実数を構成していることは大学教養レベルの解析学でよく知られた事実であるが、このコーシー列はその極限である実数を、その 10 進小数展開に従って近似していく列になっている。特に、展開の各位の数字は x_n − x_n−1 により一意的に決定されている。

$E_0 \gets E_1 \gets E_2 \gets \cdots \gets E_k \gets \cdots (\cdots \gets \projlim_n E_n =: \mathbf{R})$

lim_n→∞ x_n = 0 となることと x_n = 0 が任意の n ∈ N で成り立つこととが同値であるから、proj-lim_n E_n の元であるコーシー列 (x_n)_n∈N をその極限 lim_n→∞ x_n に対応させる写像は単射な環の準同型である。逆に、任意の実数に対してその 10 進小数展開を途中で打ち切りながらつくったコーシー列を考えれば、その極限は proj-lim_n E_n に入るから、proj-lim_n E_n と R は一対一に対応する。つまり、両者は体として同型である。